¿Cuál es el dominio de $f(x,y)=(-1)^{x+y}$ ?

Question

Estaba pensando en encontrar el dominio de la función multivariable siguiente,

$$f(x,y)=(-1)^{x+y}$$

Pero no estoy seguro de qué enfoque debo adoptar para encontrar la respuesta a estas preguntas. ¿Cómo debería encontrar el dominio de dicha función?

Answer 1

Esto depende de si se trabaja en $\mathbb R$ o $\mathbb C$ .

En $\mathbb R$ se observa que para los enteros $n$ ,

$$(-1)^{2n+1} = -1 \implies -1=(-1)^{1/(2n+1)}$$

y además, para los enteros $m$ ,

$$(-1)^m = \boxed{(-1)^{m/(2n+1)}} = -1\text{ or }+1$$

No podemos generalizar el exponente a todos los números racionales, ya que $(-1)^{1/(2n)}$ no es real.

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En $\mathbb C$ :

$$(-1)^a := e^{a\log(-1)} = e^{a(i\pi+2\pi i n)}$$

para los enteros $n$ . Esto se define para todos los $a\in \mathbb C$ .