¿Por qué la reflexividad no es redundante en la definición de la relación de equivalencia?

Question

Una relación de equivalencia se define por tres propiedades: reflexividad, simetría y transitividad.

¿La simetría y la transitividad no implican reflexividad? Considere el siguiente argumento.

Para cualquier $a$ y $b$ , $a R b$ implica $b R a$ por simetría. Utilizando la transitividad, tenemos $a R a$ .

Fuente: Ejercicio 8.46, P195 de Pruebas matemáticas 2ª (no 3ª) edición de Chartrand et al.

Answer 1

La reflexividad siempre requiere que la relación binaria incluya todos los elementos del conjunto, lo que puede no ser así aunque la transitividad y la simetría sean válidas para la relación. Sin embargo, puede ser redundante si se dice que cada elemento del conjunto tiene un pariente o se redefine la relación para que sea sólo sobre el subconjunto del conjunto actual, dejando fuera a los miembros excluidos para los que la relación no se asigna a ninguna parte. Aunque a veces la propia definición de la relación puede restringir la reflexividad, por ejemplo: el par (a,b) donde 'a' es el hermano de b.