Una relación de equivalencia se define por tres propiedades: reflexividad, simetría y transitividad.
¿La simetría y la transitividad no implican reflexividad? Considere el siguiente argumento.
Para cualquier $a$ y $b$ , $a R b$ implica $b R a$ por simetría. Utilizando la transitividad, tenemos $a R a$ .
Fuente: Ejercicio 8.46, P195 de Pruebas matemáticas 2ª (no 3ª) edición de Chartrand et al.
En realidad, sin la condición de reflexividad, la relación vacía contaría como una relación de equivalencia, que no es ideal.
Su argumento utilizó la hipótesis de que para cada $a$ existe $b$ tal que $aRb$ es cierto. Si esto es cierto, entonces la simetría y la transitividad implican reflexividad, pero esto no es cierto en general.
Por qué lo siguiente no es un contraejemplo de que incluso con serialidad, y transitividad y simetría, una relación puede dejar de ser reflexiva en algún conjunto: Consideremos $S = \{1, 4, 5, 6\}$ y la relación $R$ donde $(x,y) \in R$ si $x + y > 3$ . En $S$ esta relación es transitiva, simétrica y se mantiene la serialidad. Por lo tanto, la reflexividad también debería serlo. Sin embargo, 1 + 1 $\not > 3$ .
Tal vez me inventé la forma del sustantivo. Si buscas en Google "relación binaria en serie", aparecerá. Aunque si buscas en Google "serialidad de las relaciones binarias" también aparecerá.
Considere el conjunto $S =\{a,b,c\}$ con $a, b$ y $c$ distintos, y la relación $$R = \{(a,c),(c,a),(a,a),(c,c)\} \subset S \times S$$
Es simétrico y transitivo pero no es reflexivo.
Añadido 3/4/2021
El argumento $aRb \implies bRa \implies aRa$ es convincente excepto por una cosa. ¿Qué pasa si no hay $b$ tal que $aRb$ ?
Para responder a la pregunta de Muno, $R$ en $S$ no es transitivo: $x=z=1$ y $y=3$ es un contraejemplo (cualquier $y$ que no sea $1$ lo hará). $x+y=y+z>3$ pero $x+z<3$ .
silvascientist: $R$ satisface la Drittengleichheit si la implicación es verdadera; es vacuamente verdadera si $xRz$ y $yRz$ es falso. Esto no significa que $xRy$ es verdadera (de manera similar $xRy$ y $xRy$ falso no significa $xRx$ es verdadera, simplemente que satisface vacuamente la propiedad) para la relación vacía sobre un conjunto no vacío. Lo mismo ocurre si $x$ no está relacionado con nada, así que en ninguno de los dos casos es $R$ reflexivo.
Puedes deshacerte de la reflexividad. Asumir la $R$ es una relación simétrica que satisface la propiedad de "Drittengleichheit": $xRz\land yRz\Rightarrow xRy$ . En este caso $R$ es una relación de equivalencia; se puede deducir fácilmente la transitividad y reflexibilidad de $R$ .
¿Notas la diferencia entre "Drittengleichheit" y transitividad?
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Este es un buen problema para plantear en un curso introductorio de Matemáticas Discretas/Lógica.
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@LePressentiment ¿Por qué añadir una fuente aleatoria a una pregunta de hace tres años y medio? Este es un ejercicio estándar que puedes encontrar en muchos muchos libros.
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¿Cómo sabes que $aRb$ tal vez no hay tal $b$ .
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He creado un Preguntas y respuestas canónicas que pretende responder a esta pregunta y a otras similares.
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¿Responde esto a su pregunta? Ejemplos y contraejemplos de relaciones que satisfacen ciertas propiedades