En el documento Fibraciones homológicas y teorema de terminación de grupos, McDuff-Segal, página 281, línea 14-línea 15: Para un monoide topológico $M$ , si $\pi_0(M)=\{0,1,2,3,......\}$ entonces la acción de $M$ en $M_\infty$ a la izquierda es por equivalencias de homología.
Anotaciones:
(1). El espacio $M_\infty$ se construye de la siguiente manera: Sea $M=\bigsqcup_{j=0}^\infty M_j$ donde $M_j$ son los componentes conectados a la trayectoria de $M$ tal que $M_j$ es el componente correspondiente a $j\in\pi_0M$ . Elegimos $m_1\in M_1$ y considerar la secuencia \begin {eqnarray} M \overset { \cdot m_1} \longrightarrow M \overset { \cdot m_1} \longrightarrow M \overset { \cdot m_1} \longrightarrow \cdots \end {eqnarray} A partir de esta secuencia podemos formar un telescopio cartográfico $$ M_\infty=(\bigsqcup_{i=1}^\infty [i-1,i]\times M)/\sim $$ donde $\sim$ se genera mediante las relaciones $ (i,x)\sim (i, x m_1) $ para cualquier $x\in M$ y $i\geq 1$ .
(2). "la acción de $M$ en $M_\infty$ a la izquierda es por equivalencias de homología" significa:
Para cualquier $m\in M$ la acción de la izquierda de $m$ en $M_\infty$ dado por
$$m(x\mapsto xm_1\mapsto xm_1^2\mapsto\cdots)= (mx\mapsto mxm_1\mapsto mxm_1^2\mapsto \cdots)$$
induce un isomorfismo en la homología.
Pregunta:
Por qué la acción de $M$ en $M_\infty$ a la izquierda es por equivalencias de homología?
