Demostrar que $f_n \to f$ en $L^2(d\mu)$ si $f_n \to f$ a.e., $f_n \ge 0$ , $f_n \in L^2(d\mu), f \in L^2(d\mu)$

Question

Considere $f_n \to f$ a.e., $f_n \ge 0$ , $f_n \in L^2(d\mu), f \in L^2(d\mu)$ y $\int |f_n|^2 \, d\mu \mathop{\longrightarrow}\limits_{n \to \infty} \int |f|^2 \, d\mu$ .

Encuentre un argumento elemental para demostrar que $f_n \to f$ en $L^2(d\mu)$ .

Tenemos que demostrarlo:

\begin {align*} \lim\limits_ {n \to \infty } \lVert f_n - f \rVert_2 &= 0 \\ \lim\limits_ {n \to \infty } \left ( \lVert f_n - f \rVert_2\right )^2 &= 0 \\ \end {align*}

Empezando por:

\begin {align*} \lim\limits_ {n \to \infty } \left ( \lVert f_n - f \rVert_2\right )^2 &= \lim\limits_ {n \to \infty } \int (f_n - f)^2 \N, d \mu \\ &= \lim\limits_ {n \to \infty } \int (f_n^2 + f^2 - 2 f f_n) \N -, d \mu \\ &= \lim\limits_ {n \to \infty } \int f_n^2 + \int f^2 - 2 \lim\limits_ {n \to \infty } \int f f_n \N -, d \mu \\ \end {align*}

Desde $f_n \to f$ en $L^2(d\mu)$ podemos simplificar:

\begin {align*} &= 2 \int f^2 - 2 \lim\limits_ {n \to \infty } \int f f_n \N -, d \mu \\ \end {align*}

Si $f_n \nearrow f$ podríamos utilizar el teorema de convergencia monótona para concluir esta prueba. Pero no lo tenemos. No estoy seguro de cómo concluir esto.

Answer 1

En efecto, no se puede utilizar Beppo Levi, pero sí puede utiliza a Fatou. Específicamente, $$-2\lim_{n\to\infty} \int f_nf\,d\mu\le-2\int f^2\,d\mu$$ y por lo tanto $\lim_{n\to\infty} \lVert f_n-f\rVert^2\le 0$ .

Añadido: Técnicamente, elegiste por ti mismo la mala notación, y por eso ahora tengo que reescribir todo.

\begin {align} \limsup_ {n \to\infty } \lVert f-f_n \rVert ^2&= \limsup_ {n \to\infty } \int f_n^2+f^2-2ff_n\,d \mu = \\ &= \lim_ {n \to\infty } \int f_n^2+f^2\\Nde la que se trata, d \mu + \limsup_ {n \to\infty } \int -2ff_n,d \mu = \\ &=2 \lVert f \rVert ^2-2 \liminf_ {n \to\infty } \int f_nf\,d \mu\le\\ \text {(Fatou) }& \le 2 \lVert f \rVert ^2-2 \int \liminf_ {n \to\infty f_nf,d \mu =0 \end {align}