¿Cómo es que tener una raíz repetida en $trigonometric$ $equations$ (no polinómico) implican tocar, pero no cruzar el $x$ -¿eje?

Question

Considere

$$f(x)=cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0 \tag{1}$$ dando $$2x+\frac{\pi}{3}=\pm\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+2r\pi \tag{2}$$ $\pm \to +, r \to n$ $$x_n^+=\pi\left(\frac{24n-1}{6}\right) \tag{3}$$ $\pm \to -, r \to k$ $$x^-_k=\frac{\pi}{42}\left(24k-7\right) \tag{4}$$ donde $r,n,k \subset Z$ .

Entonces $x=...,-31\pi/42,-\pi/6,17\pi/42, 41\pi/42...,$

Según el libro de texto que estoy leyendo, como $$x^+_{n=0}=x^-_{k=0}=-\frac{\pi}{6} \tag{5}$$ es una raíz repetida, $x=-\frac{\pi}{6}$ es un valor en el que la curva toca el $x-axis$ sin cruzarlo.

Pero no entiendo cómo el hecho de tener una raíz repetida en las ecuaciones trigonométricas implica tocar el $x$ -eje (la noción de cambio de signo no parece aplicable aquí)?

Answer 1

Cualquier función real $y=f(x) $ ya sea algebraica o trigonométrica, tiene una raíz doble en $x=a$ si

$$ f(a)=0,\; f'(a)=0\;$$

Por ejemplo, hay una raíz doble en

$x=-1$ para la curva (círculo)

$$ (x+1)^2+(y+1)^2=1$$

donde toca el eje x. Una función trigonométrica también tiene la misma situación:

Lo mismo ocurre con la siguiente función trigonométrica implícita

$$ \sin x \sin (y-\frac14) = \frac14 $$

Cualquier función suave puede ser elegida entre las funciones trigonométricas, hiperbólicas polinómicas algebraicas para ser elegidas.Deben tener expansión en serie con derivadas continuas. Tal vez se introdujo por primera vez a los polinomios algebraicos para facilitar la diferenciación.