Continuidad de la función cuantil

Question

Dada una función continua creciente y derecha $$F:\mathbb{R} \rightarrow [0,1]$$ tal que $\lim_{x\rightarrow \infty} F(x)=1 $ y $\lim_{x\rightarrow -\infty} F(x)=0$

entonces podemos definir $G:(0,1)\rightarrow \mathbb{R}$ $$G(y)= \inf\{x : F(x)\geq y\}$$

Podría demostrar que $G$ está aumentando y que $F(x) \geq y$ equivale a $x \geq G(y)$ .

¿Cómo puedo demostrar que G también es continuo por la izquierda?

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Pista: Las funciones monótonas pueden tener sólo discontinuidades de salto. Demuestre que $\sup_{y<y_0}G(y)=G(y_0)$ .

Dejemos que $x' := \sup_{y<y_0}G(y)$ . Entonces, para cada $y<y_0$ y $\epsilon>0$ tenemos $F(x'+\epsilon)>y$ . Continuidad de la derecha de $F$ implica $F(x')\ge y$ . Por lo tanto, $F(x')\ge y_0$ .