estimación de máxima verosimilitud y el UMVUE

Question

He estado trabajando en esta cuestión y estoy un poco confundido sobre cómo resolverla.

Para evaluar la prevalencia de las enfermedades periodontales en una población, supongamos que $x_i$ , $i=1,\ldots,n$ son los resultados de $n$ observaciones de iid de $X$ sobre la situación de los participantes reclutados en un ensayo clínico. $X_i= 0$ (si el paciente no tiene la enfermedad periodontal) o $1$ (si el paciente tiene la enfermedad) en la población con la tasa de supervivencia desconocida $p= P(X=0).$

a) Si se sabe que $0.3\leq P \leq 0.8,$ encontrar el MLE de $P$

b) si $ 0<p<1 $ y $n \geq 4$ , derivar el UMVUE de $g(p)= p^4 +3p^2-p^3 + 0.7$

Con la pregunta a, no entiendo cómo el rango de $p$ afectaría a la MLE. Ya que la MLE depende de nuestros valores X. Mi planteamiento inicial era encontrar el MLE de bernoulli (p ) que es la media pero no sé cómo puede ser el rango de $P$ como se ha dado afectan a mi respuesta.

Para la pregunta b, estaba pensando en utilizar el teorema de rao blackwell pero sinceramente no sé cómo configurarlo.

Tengo un examen en unos días y la comprensión de esto es muy importante.Esperando una respuesta pronto.

Gracias

Answer 1

Voy a suponer que donde escribiste "Si se sabe que $0.3\leq P \leq 0.8,$ encontrar el MLE de $P$ ", lo que querías decir era "Si se sabe que $0.3\leq p \leq 0.8,$ encontrar el MLE de $p$ ". Tenga cuidado con este tipo de cosas.

Normalmente tu curso de cálculo habría incluido algo sobre la maximización o minimización en un intervalo cerrado y la búsqueda de máximos o mínimos que están en los puntos finales. Eso es lo que se pide aquí.

Dejemos que $t=x_1+\cdots+x_n.$

La función de probabilidad es $$ L(p) = p^t (1-p)^{n-t} \text{ for } 0.3\le p \le 0.8. $$ Entonces tenemos $$ \ell(p) = \log L(p) = t\log p + (n-t)\log(1-p) $$ y por lo tanto \begin {align} \ell\ ,'(p) = \frac t p - \frac {n-t}{1-p} = \frac {t - np}{p(1-p)} \quad\begin {casos} >0 & \text {si } 0 \le p < t/n, \\ [5pt] = 0 & \text {si } p = t/n, \\ [5pt] < 0 & \text {si } t/n<p \le 1. \end {casos} \end {align} Por lo tanto, \begin {align} & L \text { aumenta en } [0,\, t/n], \\ & L \text { disminuye en } [t/n,\, 1]. \end {align} Así que: \begin {align} & \text {Si } t/n \le 0.3 \text { entonces } L \text { disminuye en } [0.3,\,0.8] \\ & \qquad \text {así que la MLE es } 0.3. \\ [10pt] & \text {Si } t/n \ge 0.8 \text { entonces } L \text { aumenta en } [0.3,\,0.8] \\ & \qquad \text {así que la MLE es } 0.8. \\ [10pt] & \text {Si } 0,3 < t/n < 0,8 \text { entonces } L \text { aumenta en } [0,3,\Nt/n] \\ & \qquad \text {y disminuye en } [t/n,\Nde 0,8], \text { por lo que la MLE es } t/n. \end {align}

Para encontrar el UMVUE, tenga en cuenta que debe incluir una prueba de que existe, ya que en algunos casos no existe. Tenga en cuenta también que $X_1X_2X_3X_4$ es un estimador insesgado de $p^4,$ que puede condicionar a una estadística suficiente completa.