¿Se trata de un límite superior o inferior?

Question

¿Qué sentido de la desigualdad es correcto respecto a la siguiente expresión

$$\big|\sum_{i\leq 3}X_i a_i \big|^2 \stackrel{\leq}{\geq} \sum_{i\leq 3}\big|X_i\big|^2|a_i|^2$$

donde tenemos que $$X_i\in \mathbb{C}$$

Así que desde $X_i$ podría ser complejo... Supongo que $\leq$ ¿es el sentido correcto? Pero entonces pruebo el ejemplo $X_i= a_i=1$ Entiendo que debería ser $\geq$ ...

¿Qué opinas?

Gracias.

Answer 1

Usted tiene $$\begin{align} \left|\sum_i X_i a_i\right|^2 & = \left|\left(\sum_i X_i a_i\right)\left(\sum_j X_j a_j \right)\right| \\ & = \left|\sum_i X_i^2 a_i^2 + \sum_{i \neq j} X_i X_j a_i a_j\right|\end{align}$$ En esta ecuación se puede ver que no hay ningún signo de desigualdad definido. Puede ser $\ge$ o $\le$ ...

Answer 2

Tienes que modificar tu desigualdad de la siguiente manera:

$$\big|\sum_{i\leq 3}X_i a_i \big|^2 {\leq} \sum_{i\leq 3}\big|X_i\big|^2\sum_{i\leq 3}|a_i|^2$$

Entonces es la desigualdad de Cauchy-Schwarz para $n=3$ .