Determinar si un ángulo está entre dos ángulos dados en la circunferencia unitaria

Question

Estoy tratando de encontrar una manera de determinar si un ángulo está entre dos ángulos dados donde todos los ángulos se proporcionan como vectores en el círculo unitario es decir: $\mathbf{a}=(\cos(\theta),\sin(\theta))$

Nótese que por entremedio quiero decir en el arco del menor de los dos segmentos del círculo unitario formado por los vectores entre los que queremos comprobar.

Concretamente no quiero obtener los ángulos a partir de los vectores dados aplicando las funciones trigonométricas inversas sólo quiero trabajar con los vectores dados.

Creo que lo siguiente es cierto si y sólo si el ángulo $\mathbf{c}$ está entre $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ : $$|\mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}|\leq 1$$

pero tengo problemas para demostrarlo. ¿Esta afirmación es cierta y puede demostrarla?

Answer 1

Es cierto (excepto, posiblemente, en los casos extremos).

Es bastante obvio si se dibuja un diagrama con dos círculos unitarios - uno en el origen con vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ en él, y el otro círculo unitario centrado en $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ y que contiene el vector $-\mathbf{c}$ . Vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ apuntará entonces a las intersecciones de los círculos unitarios.

Para $|\mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}| < 1$ para sostener, la cabeza de $-\mathbf{c}$ debe estar dentro del primer círculo unitario, y esto ocurre exactamente cuando se encuentra en el arco circular entre los dos puntos de intersección. Por lo tanto, por simetría del paralelograma, lo mismo ocurre con $\mathbf{c}$ cuando se coloca en el origen. Esos puntos de intersección están señalados por $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ Así que $|\mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}| < 1$ si $\mathbf{c}$ se encuentra estrictamente entre $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ .

Tenga en cuenta que ha utilizado un $\le$ signo, pero tendrás que pensar si eso es lo que quieres o si es mejor la desigualdad estricta. ¿Tiene $\mathbf{a}$ se encuentran entre $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ ? Y en el caso de $\mathbf{a}=-\mathbf{b}$ ¿todos los vectores unitarios se encuentran entre ellos o ninguno?