Tras la colisión elástica, ¿en qué posición se encuentra el centro de la bola estacionaria? ¿Se detiene la bola instantáneamente?

Question

Supongamos que tenemos dos bolas, $A$ y $B$ de radio $1$ con igual masa. Bola $B$ está inicialmente en (el centro está en) dos en el $x$ -eje, es decir $(2,0,0)$ y tiene velocidad $0$ . Bola $A$ está inicialmente en (el centro está en) algún punto de la $x$ -eje a la izquierda de la bola $B$ (sin tocarse ofc) y se mueve a la derecha con velocidad $s > 0$ . Un tiempo después las bolas chocan, y tras la colisión, la bola $A$ está ahora inmóvil y la bola $B$ se mueve a la derecha con velocidad $s$ .

Si se utiliza un modelo de impulso, la colisión entre $A$ y $B$ se trata como si ocurriera instantáneamente y tras la colisión el centro de la bola $A$ está en el origen.

Si la colisión se modela utilizando fuerzas, ¿el centro de la bola $A$ ¿acabará estando exactamente en el origen? O puede que la bola $A$ terminan con el centro en $(\epsilon, 0, 0)$ para un número pequeño y no nulo de $\epsilon$ o incluso en algún momento $c$ no en el $x$ -eje con $||c||$ pequeño pero no cero? Si el centro de la bola $A$ no termina exactamente en el origen, ¿cuáles podrían ser algunas de las principales propiedades que determinan dónde termina? ¿Y si esa colisión se produce en la realidad?

Según mis limitados conocimientos, durante la colisión se producen deformaciones temporales y fuerzas tipo muelle. Durante un pequeño intervalo de tiempo adecuado, la bola $A$ (centro de masa) se desacelera mientras la bola $B$ (centro de masa) acelera, pero incluso si $A$ acaba inmóvil no me queda claro que su centro acabe donde estaba cuando empezó la colisión.

Cualquier ayuda o información es muy apreciada. Gracias por su tiempo y que tenga un buen día.

Answer 1

Una cuestión que se pasa por alto en la mayoría del material introductorio: cómo se define una colisión, y en particular cuándo son los estados inicial y final -juega un papel aquí.

Podríamos definir una colisión considerando la(s) interacción(es) entre los cuerpos afectados. Buscamos una situación en la que las interacciones (es decir, las fuerzas) pasen de ser despreciables a no despreciables y vuelvan a serlo.

La colisión es todo el tiempo de interacciones no despreciables.

Y eso nos dice que los estados inicial y final se toman cuando la interacción es despreciable.

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Ahora bien, en el caso de las bolas de billar que chocan esto es fácil: mientras están en contacto la interacción es no despreciable.

Si consideramos, en cambio, la dispersión gravitacional la cuestión es difícil. La fuerza tiene un rango "infinito", así que tenemos que definir la despreciabilidad por referencia a otras fuerzas que actúan sobre los cuerpos: cuando la fuerza entre ellos es menor que las diferencias de las fuerzas externas sobre los dos cuerpos podemos tratarla como despreciable. ¡Qué asco! 1

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Así que volviendo a tu pregunta, la colisión en sí ocupa un periodo de tiempo corto, pero no nulo 2 (mientras se produce esa deformación de la que te preocupas), y no esperarías encontrar la condición final aplicada en ningún momento de la colisión.

Pero se puede esperar que el estado final se aplique inmediatamente al salir las bolas del contacto. Por lo tanto, cabe esperar que la posición inicial de la bola "objetivo" y la posición final de la bola "incidente" estén ligeramente más cerca que $2R$ ( $R$ el radio de las bolas), pero se podría manipular para que la bola incidente siga terminando en el origen, o para que la bola objetivo empiece realmente en $2R$ o dividir la diferencia y hacer que ambos estén ligeramente desplazados.

En el caso de las bolas de billar reales, el tamaño de la deformación no es mayor que el grano del fieltro, por lo que probablemente sea seguro ignorarlo a efectos del mundo real.

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1 En realidad, en muchos casos esta definición bastante enrevesada tiene una aplicación muy sencilla, pero el caso general es desagradable.

2 Aquí estamos viendo el proceso con más detalle que la idealización de la interacción "instantánea" que comentas en tu pregunta. Enhorabuena, has pasado a un nivel de comprensión más profundo.

Answer 2

Es más fácil visualizar esto desde un marco de referencia inercial que se mueve hacia la derecha con la mitad de la velocidad inicial de la bola izquierda. Desde este marco de referencia, ambas bolas se moverán inicialmente hacia la otra con la misma velocidad.

Al entrar en contacto, cada bola experimentará una deformación, y la extensión espacial de la deformación en cada bola no se limitará a la región cercana al plano de contacto. Una zona de compresión comenzará a desarrollarse en el plano de contacto y se desplazará, y la onda de compresión viajará a la velocidad del sonido en el metal a través de cada bola hasta que llegue al extremo de cada bola. En este punto, ambas bolas se habrán detenido por completo, pero estarán bajo compresión. A continuación, se producirá una onda de dilatación a partir de la reflexión en el extremo más alejado; la onda de dilatación viajará de vuelta a la velocidad del sonido hasta llegar al plano de contacto; en este punto, las bolas se separarán.

Así, durante la parte inicial de la colisión, el extremo posterior de cada bola sigue viajando a la velocidad inicial mientras que el extremo posterior de cada bola estará bajo compresión y se habrá detenido. Más tarde, cuando se libere la compresión, el extremo posterior de cada bola se desplazará en la dirección opuesta, mientras que el extremo anterior permanecerá inmóvil. A medida que se libera la compresión, más de cada bola se desplaza en dirección opuesta hasta que las bolas se separan.