¿Cómo puedo demostrar que esto es una métrica?

Question

Definir una métrica $d$ en $\mathbb{Z}$ de la siguiente manera:

$d(x,y)=\min\{\frac{1}{n!} : n! \text{ divides } x-y \text{ where } n\in\mathbb{Z}^+ \}$ si $x\neq y$ .

$d(x,x)=0$

Demostrar que $d$ es una métrica en $\mathbb{Z}$

¿Cómo puedo demostrar que $d(x,z)\leq d(x,y) + d(y,z)$ ?

Estuve tratando de hacer esto caso por caso, pero no pude probar esto..

Por favor, ayuda

Answer 1

$d(x,y)+d(y,z)=\min\{\frac{1}{n!}:n!|(x-y)\}+\min\{\frac{1}{n!}:n!|(y-z)\}$

$d(x,z)=\min\{\frac{1}{n!}:n!|(x-z)\}$

$n!|(x-z)\Rightarrow n!|(x-y+y-z)\Rightarrow n!|(x-y)+(y-z)$

Así que, o bien $n!|(x-y),n!|(y-z)$ o $n!$ no divide ninguna de las dos, (ya que si sólo dividiera una y no la otra, no dividiría el todo)

Si divide a ambos, entonces $\frac{1}{n!}\le\frac{1}{n!}+\frac{1}{n!}$

Si $n!$ tampoco se divide, entonces hay $k!|(x-y)$ y $m!|(y-z)$ donde ambos $m,k\le n\Rightarrow m!,k!\le n!\Rightarrow \frac{1}{n!}\le\frac{1}{m!},\frac{1}{k!}\Rightarrow \frac{1}{n!}\le\frac{1}{m!}+\frac{1}{k!}$