¿Es cada superficie conectada umbilical $S$ con $0$ ¿la curvatura coincida en un plano? La respuesta es "sí" si además suponemos que la superficie es orientable. El argumento se esboza a continuación:
Es posible demostrar que toda superficie umbilical conectada tiene curvatura gaussiana constante $k$ . Supongamos que $k=0$ y que $N$ sea un campo normal diferenciable en $S$ . $N$ es constante ya que $dN_p=0$ para todos $p \in S$ y como $S$ está conectado. Sea $p \in P$ y que $P=\{p+v: v_p \in T_pS\}$ . Demostraremos que $S \subset P$ . Lo que debemos hacer es demostrar que, dado $q \in S$ , $q-p$ pertenece a $P$ . Basta con demostrar que $\langle q-p, N\rangle=0$ para todos $q \in S$ . Así que dejemos $F=\langle Id-p, N\rangle$ , donde $Id$ es la función de identidad en $S$ . $F$ es diferenciable y es fácil demostrar que $dF_r=0$ para todos $r \in s$ Por lo tanto $F$ es constante. Obsérvese que $F(p)=0$ Por lo tanto $F$ está constantemente $0$ como queríamos.
Nótese que el argumento anterior utilizaba la existencia de un campo vectorial normal en $S$ . Creo que podemos suprimir la palabra "orientable" en la hipótesis mostrando que las otras partes de la hipótesis implican que $S$ es orientable, sin embargo, no sé cómo proceder.
