problema de producto cuña y operación tensorial

Question

Dejemos que $\{e_{1},\ldots,e_{n}\}$ sea la base habitual de $\mathbb{R}^{n}$ y que $\{\varphi_{i},\ldots,\varphi_{n}\}$ sea la base dual.

Demostrar que $$\varphi_{i_{1}}\wedge\cdots\wedge \varphi_{i_{k}}(e_{i_{1}},\ldots,e_{i_{k}})=1$$

El producto cuña se define por $$\omega\wedge \eta=\frac{(k+l)!}{k!l!}\text{Alt}(\omega \otimes \eta)$$ donde, digamos $\omega\in \Lambda^{k}(V)$ , $\eta\in \Lambda^{l}(V)$ y $\omega\wedge \eta\in\Lambda ^{k+l}(V)$

y la alternancia

$\text{Alt}(T)(v_{1},\ldots,v_{n}):=\dfrac{1}{k!}\displaystyle\sum_{\sigma\in S_{k}}\text{sgn}\;\cdot T(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(k)})$ con $S_{k}$ siendo el conjunto de todas las permutaciones de los números $1$ a $k$ .

hay dos pasos que no entiendo en la siguiente solución:

$$ \begin{align} & \varphi_{i_{1}}\wedge\cdots\wedge \varphi_{i_{k}}(e_{1},\ldots,e_{n}) \\[6pt] = & \frac{k!}{1!\cdots 1!}\text{Alt}(\varphi_{i_{1}}\otimes\cdots\otimes\varphi_{i_{k}})(e_{1},\ldots,e_{k}) \\[6pt] = & \sum_{\sigma\in S_{k}}\text{sgn}(\sigma)\varphi_{i_{1}}(e_{\sigma(1)})\cdots \varphi_{i_{k}}(e_{\sigma(k)})=1 \end{align} $$

Soy realmente nuevo en el álgebra multilineal y agradeceré si alguien puede explicar por qué en la segunda línea el coeficiente se convierte en $k!$ ¿y por qué en la última línea tenemos el 1? ¿Qué elementos permutamos exactamente?

Gracias

Answer 1

El coeficiente $\frac{k!}{1! \cdots 1!}$ proviene del coeficiente $\frac{(k + l)!}{k!l!}$ en la fórmula del producto cuña. Están generalizando esa fórmula a un producto de cuña de un número arbitrario de tensores alternos:

$$\omega_1 \wedge \omega_2 \wedge \cdots \wedge \omega_r = \frac{(k_1 + k_2 + \cdots + k_r)!}{k_1!k_2!\cdots k_r!}Alt(\omega_1 \otimes \omega_2 \cdots \otimes \omega_r)$$

Dónde $\omega_i \in \Lambda^{k_i}(V)$ . En su caso, tenemos:

$$\varphi_{i_1} \wedge \cdots \wedge \varphi_{i_n} = \frac{(1 + \cdots + 1)!}{1! \cdots 1!}Alt(\varphi_{i_1} \otimes \cdots \otimes \varphi_{i_k})$$

Para la última línea, veamos un ejemplo en el que $k = 3$ :

$$\sum_{\sigma \in S_3} sgn(\sigma)\varphi_{i_1}(e_{i_{\sigma(1)}})\varphi_{i_2}(e_{i_{\sigma(2)}})\varphi_{i_3}(e_{i_{\sigma(3)}}) $$

$$=\varphi_{i_1}(e_{i_1})\varphi_{i_2}(e_{i_2})\varphi_{i_3}(e_{i_3}) - \varphi_{i_1}(e_{i_2})\varphi_{i_2}(e_{i_1})\varphi_{i_3}(e_{i_3}) - \varphi_{i_1}(e_{i_1})\varphi_{i_2}(e_{i_3})\varphi_{i_3}(e_{i_2}) - \varphi_{i_1}(e_{i_3})\varphi_{i_2}(e_{i_2})\varphi_{i_3}(e_{i_1}) + \varphi_{i_1}(e_{i_2})\varphi_{i_2}(e_{i_3})\varphi_{i_3}(e_{i_1}) + \varphi_{i_1}(e_{i_3})\varphi_{i_2}(e_{i_1})\varphi_{i_3}(e_{i_2}) $$

Lo que estás haciendo es permutar todos los índices posibles del $e's$ . Pero puedes ver que sólo uno de estos términos va a ser distinto de cero, y es el primero en el que $\sigma$ es la identidad, porque $\phi_i(e_j)$ es distinto de cero sólo cuando $i = j$ .