Demostrar que $\infty$ -normas y $C^1$ -normas no son equivalentes.

Question

Demostrar que $\infty$ -normas y $C^1$ -normas no son equivalentes.

Para el $C^1([a,b],\mathbb{R})$ espacio, demuestre que

$\displaystyle ||g||_\infty=sup_{a\leq t\leq b}|g(t)|$

y

$\displaystyle ||g||_{C^1}=sup_{a\leq t\leq b}|g(t)|+sup_{a\leq t\leq b}|g'(t)|$

no son equivalentes.

Mi intento:

$\displaystyle |g'(t)|>0 \implies sup_{a\leq t\leq b}|g'(t)|>0$

Así que entonces

$\displaystyle ||g||_\infty=sup_{a\leq t\leq b}|g(t)| \leq sup_{a\leq t\leq b}|g(t)|+sup_{a\leq t\leq b}|g'(t)| \leq p ||g||_{C^1}$ para la constante $p \geq 1$ .

Si las dos normas no son equivalentes entonces estoy asumiendo que

$||g||_\infty \ngeq q ||g||_{C^1}$ para cualquier constante $0<q<1$ . ¿Cómo puedo demostrar que esto es cierto?

¿Es este un buen enfoque o alguien tiene una idea mejor?

Answer 1

Un plan para mostrar este tipo de no desigualdad es mostrar una secuencia de funciones donde el lado izquierdo está acotado, pero el derecho diverge. Por lo tanto, no puede haber tal constante.

¿Puedes pensar en una secuencia sencilla de funciones que estén acotadas en sus valores extremos, pero que tengan pendientes no acotadas?