derivadas - número máximo de intersecciones entre un polinomio y e^x

Question

Me desconcierta la siguiente pregunta: Sea p sea un polinomio de grado n y que $$E = \{x | e^x = p(x)\}.$$ Demostrar que la cardinalidad $|E|$ de E satisface $|E| \le n+1$ .

Conocido La pista de la pregunta dice que hay que utilizar el Teorema del Valor Medio Generalizado, que dice: Dejemos que $f$ y $g$ sean funciones continuas sobre $[a,b]$ y supongamos que $f$ y $g$ son diferenciables al menos en $(a,b)$ con $g'(x) \not= 0$ en $(a,b)$ . Entonces $\exists c \in (a,b)$ tal que $$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.$$

Dónde estoy confundido Estoy confundido en cuanto a cómo aplicar el Teorema del Valor Medio (es decir, qué funciones elegir para $f$ y $g$ ). Quiero utilizar un argumento de conteo, pero tampoco funciona. Cualquier ayuda, sugerencia, orientación, etc. se agradece.

Answer 1

$f(x)=e^x-p(x)$ es infinitamente diferenciable, y $f^{(n+1)}(x)= e^x\,$ desde el $(n+1)^{th}$ derivado de un $n^{th}$ el polinomio de grado es idéntico a cero $p^{(n+1)}(x) \equiv 0\,$ .

Si $\,|E| \ge n+2\,$ Eso significaría que $f(x)$ tenía al menos $\,n+2\,$ ceros distintos. Entonces, como consecuencia de Teorema de Rolle , $\,f^{(n+1)}(x)\,$ tendría que tener al menos una raíz real (véase aquí por ejemplo). Pero $\,f^{(n+1)}(x)= e^x \gt 0\,$ Por lo tanto $\,f(x)\,$ puede tener como máximo $\,n+1\,$ raíces distintas $\iff |E| \le n+1\,$ .

Answer 2

Sugerencia: No utilices el GMVT; el MVT servirá. Aplíquelo a $e^x-p(x)$ y utilizar la inducción como sugiere @stochasticboy321.