Dejemos que $A$ y $B$ ser conjuntos. Si $A$ es infinito y $A\subset B$ El $B$ es infinito.

Question

Prueba por contradicción: Supongamos que $A$ es infinito, $A\subset B$ y $B$ es infinito.

Desde $A\subset B$ entonces $|A|\leq |B|$ .

Como A es infinito y $|A|\leq |B|$ entonces $B$ debe ser infinito. Pero $B$ es finito. Se produce una contradicción.

Por lo tanto, $B$ es infinito.

¿Es esto suficiente para verificar la declaración?

Answer 1

El argumento que has aportado es esencialmente una reafirmación tautológica de lo que se te pide que demuestres en el " $\lvert A\rvert\le\lvert B\rvert$ ", por lo que dudo que la persona que te encargó la tarea la considere una prueba válida. Por ejemplo, no estás utilizando explícitamente el hecho de que "conjunto infinito" tiene un significado real, aparte de satisfacer alguna propiedad formal (verdadera, pero en gran medida no especificada).

Prefiero ir con: dejar $S\subsetneq A$ tal que existe una función biyectiva $f:A\to S$ . Entonces, $S\cup(B\setminus A)\subsetneq B$ y la función \begin {align} \overline f:B& \to S \cup (B \setminus A) \\ \overline f(x)&= \begin {casos}f(x)& \text {si }x \in A \\ x& \text {si }x \in B \setminus A \end {casos} \end {alinear} es biyectiva.

Answer 2

O, si quieres contradicción, asume $f:B\to n$ es biyectiva para algún número natural $n$ .

Entonces $f|_A:A\to f(A)$ es biyectiva. Y como $f(A)\subset n$ entonces $f(A)$ es a su vez un número natural.

Esto contradice que $A$ es infinito ya que muestra una biyección desde $A$ a un número natural.