Reclamo: $A$ es un anillo de tal forma que cada principal ideal es primo si y
sólo si $A$ es absolutamente plana.
Digamos que un anillo es un PP(primaria es primo) anillo si todo ideal es principal
prime.
Supongamos $A$ es absolutamente plana, a continuación, $A$ es del PP. (ejercicio 3 en página 55 de "Introducción al Álgebra Conmutativa" por Atiyah & Macdonald)
Sólo necesitamos mostrar que si $A$ PP $A$ es absolutamente plana.
Observe que todos los ideales de a $S^{-1}A$ es de la forma $S^{-1}\mathfrak{q}$
donde $\mathfrak{q}$ $\mathfrak{p}$- primaria ideal tal que
$\mathfrak{p}\cap S=\emptyset$. Y si $J/I$ (aquí se $J\supset I$) es un
principal ideal de $A/I$, entonces cada zerodivisor en $A/J=(A/I)/(J/I)$ es
nilpotent, por lo $J$ es es el principal ideal de $A$.
Ahora es fácil mostrar que, si $A$ es del PP, a continuación, $S^{-1}A$ y
$A/I$ es el PP por un multiplicatively cerrado subconjunto $S$ y un ideal
$I$ $\mathfrak{m}^2=\mathfrak{m}$ para cada ideal maximal
$\mathfrak{m}$.
En base a estas propiedades somos capaces de demostrar que el PP anillos son absolutamente
de la plana.
Primero mostramos cada primer ideal en $A$ es máxima. Supongamos que no, hay
dos distintas primer ideales $\mathfrak{p}\subset \mathfrak{m}$ donde
$\mathfrak{m}$ es máxima. Ahora $B=(A/\mathfrak{p})_{\mathfrak{m}}$ es
un PP, dominio local(pero no en el campo) también utilizamos $\mathfrak{m}$ a
indicar el ideal maximal de a $B$. Deje $0\neq b\in \mathfrak{m}$,
supongamos $\mathfrak{q}$ es un mínimo primer contengan $b$, luego
$C=B_{\mathfrak{q}}$ es el PP, el dominio local(no campo) y el único ideal maximal de
$C$ es mínimo sobre el ideal de $(b)=bC$ $(b)$ es el primario y por lo tanto
máxima, $(bC)^2=bC$, lo $bC=0$. Es imposible. Hemos demostrado
que cada primer ideal en $A$ es máxima.
Deje $\mathfrak{m}$ ser cualquier prime ideal en $A$, $A_{\mathfrak{m}}$
es el PP. Si $A_{\mathfrak{m}}$, no es un campo, elija cualquier nonezero $x\in
\mathfrak{m}A_{\mathfrak{m}}$, then $(x)$ es el principal y por lo tanto es igual a
$\mathfrak{m}A_{\mathfrak{m}}$, lo $\mathfrak{m}A_m=0$,
contradicción.
Por lo tanto cada primer ideal $\mathfrak{m}$ $A$ es máxima y
$A_{\mathfrak{m}}$ es un campo, por lo $A$ es absolutamente plana. Hemos terminado.
