Si $\{x:f(x)<a\}$ y $\{x:f(x)>a\}$ están abiertos, entonces $f$ es continua

Question

Demuestre que si los conjuntos $\{x:f(x)<a\}$ y el conjunto $\{x:f(x)>a\}$ están abiertas para todos los $a\in \Bbb Q$ donde $(M,d)$ es un espacio métrico y $f:M\to\Bbb R$ entonces $f$ es continua.

Tome un conjunto abierto básico $(a,b)\in \Bbb R$ . Para demostrar que $f$ es continua necesitamos demostrar que $f^{-1}(a,b)$ está abierto.

Dejemos que $c_n(\in \Bbb Q)\to a$ y $d_n(\in \Bbb Q)\to b$

$f^{-1}(a,b)= \{x:f(x)>a\}\cap \{x:f(x)<b\}$

Pero, ¿cómo puedo escribir $\{x:f(x)>a\},\{x:f(x)<b\}$ en términos de $c_n,d_n$ ??

Por favor, ayuda.

Answer 1

Dejemos que $a\in \mathbb R.$ Entonces existe una secuencia de racionales $c_1>c_2 > \cdots$ tal que $c_n\to a.$ De ello se desprende que $(a,\infty) = \cup_{n=1}^\infty (c_n,\infty).$ Así, como las imágenes inversas respetan las uniones, tenemos

$$\tag 1 \{x: f(x)>a\} = f^{-1}((a,\infty))= f^{-1}(\cup_{n=1}^\infty (c_n,\infty))= \cup_{n=1}^\infty f^{-1}((c_n,\infty)).$$

Se nos da que cada $f^{-1}((c_n,\infty))$ está abierto. Como toda unión de conjuntos abiertos es abierta, el lado derecho de $(1)$ está abierto.

Hemos demostrado $\{x: f(x)>a\}$ está abierto para todo real $a.$ Un argumento similar muestra $\{x: f(x)<b\}$ está abierto para todo real $b.$

Por favor, pregunte si tiene alguna duda.

Answer 2

Una pista: las uniones arbitrarias de conjuntos abiertos son abiertas.

¿Puedes escribir $\{x:f(x)<a\}$ como una unión contable de conjuntos abiertos, donde $a\in\mathbb{R}$ $($ no sólo $\mathbb{Q})$ ?