Dejemos que $L/K$ sea una extensión de campo, y sea $K \subseteq A \subseteq L$ un campo intermedio. Definir $$ A^{FG} := \operatorname{Gal}(L/A) = \{ \phi \in \operatorname{Aut}(L) : \forall x \in A: \phi(x) = x \} $$ y que $U \subseteq \operatorname{Gal}(L/K)$ sea un subgrupo del grupo de Galois, entonces $$ U^{FK} := \operatorname{Fix}_L(U) := \{ l \in L : \forall \alpha \in U: \alpha(l) = l \}. $$ Dos subgrupos $U_1, U_2$ de un grupo $G$ se llaman conjugados, si $gU_1g^{-1} = U_2$ para algunos $g \in G$ dos campos intermedios $K \subseteq A_1, A_2 \subseteq L$ se llaman conjugados, si $\beta(A_1) = A_2$ para algunos $\beta \in \operatorname{Gal}(L/K)$ .
Ahora quiero mostrar:
i) Si $U_1, U_2$ son dos subgrupos conjugados del Grupo de Galois, entonces los campos intermedios $U_1^{FK}, U_2^{FK}$ también son conjugados.
ii) A la inversa, si $A_1, A_2$ son dos campos intermedios conjugados, entonces $A_1^{FG}, A_2^{FG}$ también son conjugados.
La prueba de ii) es sencilla, supongo, dejemos que $\beta(A_1) = A_2$ entonces $$ \operatorname{Gal}(L/A_1) = \beta^{-1} \operatorname{Gal}(L/A_2) \beta $$ Así que si $\psi = \beta \phi \beta^{-1}$ con $\phi \in \operatorname{Gal}(L/A_2)$ entonces $\psi \in \operatorname{Gal}(L/A_1)$ porque si $x \in A_1$ entonces $$ \psi(x) = \beta^{-1}(\phi(\beta(x))) = \beta^{-1}(\beta(x)) = x $$ porque $\beta(x) \in A_2$ y $\phi(x) = x$ para alle $x \in A_2$ Por lo tanto $\psi$ deja los elementos de $A_1$ fijo, por lo tanto $\psi \in \operatorname{Gal}(L/A_1)$ la otra inclusión se produce de la misma manera.
Pero para i) estoy atascado. Deja que $U_1, U_2$ sean dos subgrupos conjugados, es decir $\beta U_1 \beta^{-1} = U_2$ para algunos $\beta \in \operatorname{Gal}(L/K)$ . Quiero mostrar $\beta(U_1^{FK}) = U_2^{FK}$ lo que demuestra que $U_1^{FK}, U_2^{FK}$ son conjugados. Así que dejemos que $x \in U_1^{FK}$ lo que significa que $\alpha(x) = x$ para todos $\alpha \in U_1$ Considera que $\beta(x)$ Ahora tengo que demostrar que $\beta(x) \in U_2^{FK}$ pero aquí estoy atascado, porque con la conjugación de los subgrupos, sólo se deduce que para $\alpha \in U_2$ $$ \alpha(\beta(x)) = \beta(\alpha(x) $$ pero entonces, no pude inferir $\alpha(x) = x$ , causa $x \in U_1^{FK}$ y $\alpha \in U_2$ ... ¿alguna pista?
