Cuerda oscilante unida a un muelle

Question

Este es el problema en el que estoy trabajando:

Se le da una cuerda de longitud L que es elástica. La función $v(x,t)$ mide el desplazamiento de la cuerda desde el eje horizontal. En el extremo izquierdo de la cuerda ( $x=0$ ) la cadena es fija y $v(0,t)=0$ . En el extremo derecho de la cadena ( $x=L$ ) la cuerda está unida a un muelle. El muelle sólo puede moverse hacia arriba y hacia abajo y tiene una elasticidad k, una densidad lineal $\rho$ y la fuerza de tensión T (todas constantes). Además, el extremo del muelle no unido a la cuerda está fijado en el punto $(L,h)$ . Se nos da que la cuerda tiene una fuerza de resistencia proporcional al desplazamiento desde el eje x. En conjunto el sistema viene dado por $\rho v_{tt} = T v_{xx} -r v$ con $v(0,t)=0$ y $T v_x(L,t)+k(v(L,t)-h)=0$ .

¿Cómo podemos determinar la posición de equilibrio de la cuerda?

En segundo lugar, si dada la condición de contorno $v(0,t)=sint$ ¿cómo podemos resolver el BVP?

Estoy totalmente perdido sobre dónde empezar y qué hacer para resolver esto. A partir de una extensa búsqueda en google creo que puede tener algo que ver con la ecuación de onda pero estoy muy perdido en cómo hacer algo de esto. Cualquier sugerencia, sugerencia o explicación será muy apreciada, incluso si usted pudiera indicarme algún buen material de referencia se lo agradecería.

Answer 1

En $x=L$ en reposo, las fuerzas que actúan sobre la bisagra móvil (positiva hacia abajo) serán
$T$ Dirigido a lo largo de la cuerda;
$mg/2+k(v-h)$ Dirigido a lo largo de la vertical.

Normalmente, el movimiento final $v$ se considera mucho menor que $L$ .
Por lo tanto, $T$ se considera constante, por lo que su proyección vertical se aproximaría por $$ T_v = T{v \over L} $$

Así que en el equilibrio tendremos $$ mg/2 + k(v - h) + T_v = mg/2 + k(v - h) + T{v \over L} = 0 $$ lo que significa $$ v(L,0) = {{ - mg/2 + kh} \over {k + {T \over L}}} $$ y esto responde a tu primera pregunta.

Ahora considere que un pequeño desplazamiento vertical inicial del extremo en $x=L$ si es mucho menor que $L$ puede ser despreciado, es decir, que $kh=mg/2$ que es decir que la posición desplazada del muelle es sólo para compensar el (medio) peso de la cuerda.
En conclusión, en $x=L$ puede considerar tener sólo una reacción (en el lado de la cadena) de $-kv$ .

El segundo paso es que una pinza elástica como la anterior puede ser "trocada" con un pequeño aumento $\Delta L$ de la longitud $L$ y sujetar la cuerda a una bisagra fija allí.
Eso es porque cerca del final el desplazamiento $v$ es aún menor que en la parte central de la cadena, donde ya se se considera mucho menor que $L$ .
Eso permite poner $$ kv \approx T{{dv} \over {dx}} \approx T{v \over {\Delta L}}\quad \Rightarrow \quad \Delta L \approx {T \over k} $$ si el muelle es lo suficientemente rígido para dar $\Delta L << L$ . Esto permite también despreciar el efecto de la reacción dinámica de la parte final parte del muelle.

Si en cambio el resorte es bastante suave entonces no podemos adoptar la aproximación anterior: habrá reflexiones al final .

Un análogo del sistema mecánico anterior es la transmisión a lo largo de una línea eléctrica de longitud finita, que termina en una carga capacitiva. Esto se conoce como Ecuación del telegrafista y puedes encontrar varias fuentes para saber cómo resolver el problema.

--- aclaraciones ---

Como respuesta muy concisa a sus comentarios:

a) La modelización de la vibración tansversal de una cuerda elástica "normal" se obtiene como se indica en este artículo como (utilizando su notación) $$ \rho v_{\,t\,t} = Tv_{\,x\,x} $$ y esto es análogo a la ecuación del telegrafista para una línea sin pérdidas.

b) La presencia del término adicional $-r v$ en la ecuación que usted propone $$ \rho v_{\,t\,t} = Tv_{\,x\,x} - rv $$ corresponde a una cuerda que descansa sobre un "lecho" elástico (con masa y cizalla despreciables).
Así que el sistema mecánico no tiene pérdidas en ningún caso.

c) El $v(0,t) = \sin t$ es la señal de excitación alimentada en $x=0$ en términos de un desplazamiento impuesto $v(t)$ ..
Esto significa que el modelo mecánico real subyacente a su modelo matemático es el siguiente

es decir $$ \left\{ \matrix{ T_{\,n} (x) = T\,v_{\,x} \hfill \cr T_{\,n} (x + dx) - T_{\,n} (x) - r\,v\,dx = \rho dx\,v_{\,t\,t} \quad \Rightarrow \hfill \cr \Rightarrow \quad \rho v_{\,t\,t} = Tv_{\,x\,x} - r\,v \hfill \cr v(0,t) = U(t)\sin t \hfill \cr 0 = - T_{\,n} (L) - k\,v(L) = T\,v_{\,x} (L) + k\,v(L) \hfill \cr} \right. $$ donde $U(t)$ denota el Función de paso de la unidad .
Está claro que este modelo físico no tiene pérdidas.

d) Para encontrar el estado estable solución adoptamos el método descrito en el Ecuación del telegrafista artículo y bien conocido por los ingenieros eléctricos,
y que consiste esencialmente en tomar la transformada de Fourier. Ponemos $$ v(x,t) =\Re \left( {\hat V(x)\,e^{\,j\omega t} } \right) = V(x)e^{\,j\left( {\omega t + \alpha \left( x \right)} \right)} $$ donde $\hat V(x)$ es, en general, complejo, y se sustituye en el sistema anterior.

Ahora que el sistema está en la forma correcta (si he entendido bien tu post) se puede proceder con la parte matemática?