Este problema es básicamente equivalente al caso no trivial del problema de encontrar un producto de dos factoriales que también sea un factorial, pero ese problema parece estar abierto también. La palabra clave aquí es parece : No tengo ni idea de si tiene alguna solución todavía. ¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!
Perdón, quise decir números. Sólo soy extremadamente, extremadamente Lo siento.
El factorial del número es igual a consecutivo dígitos , mayor que el número. Así que $n\leq8$ . Tenemos que comprobar esos 8 casos
para $n=1$ , $n=2$ no hay soluciones
para $n=3$ , $3!=6 \leq 4 * 5$
para $n=4$ , $4!=24 \leq 5* 6$
para $n\geq5$ El producto sí es divisible con 5. Los dígitos son mayores que el número, pero no hay dígitos mayores que 5 divisibles con 5.
Entonces, no hay soluciones. Si no te referías a los dígitos y querías decir números, tendremos que buscar un enfoque diferente.
No tengo ninguna solución pero creo que el problema es muy interesante. Así que expongo hasta dónde he llegado (nota: no soy un teórico de los números).
Al principio, el número de ocurrencias del factor primo $p$ en $n!$ es $$c_p(n)=\sum_{i=1}^{\infty}\left\lfloor\frac n{p^i} \right\rfloor.$$ (Puedo elaborar esto, pero creo que no es la parte importante.) Esto es aproximadamente $$ \sum_{i=1}^{\infty}\left\lfloor\frac n{p^i} \right\rfloor \approx \sum_{i=1}^{\infty}\frac n{p^i}=\frac{n}{p-1}. $$ Para $n!\times m!=K!$ debe mantener $c_p(n)+c_p(m)=c_p(K)$ . Por la estimación anterior, esto da $n+m\approx K$ . Supongo que se pueden obtener resultados mucho mejores mediante estimaciones más precisas de $c_p(n)$ .
Supongamos que $K\geq n+m$ especialmente $m\leq K-n$ . Entonces tenemos $$\frac{K!}{n!\cdot m!} \geq\frac{K!}{n!\cdot(K-n)!}={K\choose n}>1$$ para $n\not=0,K$ . Así que tenemos $K<m+n$ .
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