Área de un círculo (doble integral y coordenadas cartesianas)?

Question

Sé que el área de un círculo, $x^2+y^2=a^2$, en coordenadas cilíndricas es $$\int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{a} r \, dr \, d\theta = \pi a^2$$

Pero ¿cómo puedo encontrar el mismo resultado con una doble integral y solo coordenadas cartesianas?

Answer 1

Piensa en cómo están acotadas las variables cartesianas $x$ y $y$. Si tenemos la ecuación $$x^2+y^2=r^2\Rightarrow x=\pm\sqrt{r^2-y^2}\;\text{o}\;y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$$ Y $|x|,|y|

Answer 2

$$I=\int_{-r}^r \int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}} dy \, dx\\ \\ I=\int_{-r}^r 2\sqrt{r^2-x^2}\, dx\\ \\ $$ Establezcamos $x=r \sin t$, entonces $dx = r \cos t\,dt\,$, tenemos $$I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2r^2 \cos^2 t \,dt\\ \\ r^2(t+\sin t \cos t)\Big{|}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}= \color{red}{\pi r^2}$$

Answer 3

Solo como una solución alternativa a la respuesta de qbert.

Nótese que $|x|$, $|y|$ no son estrictamente menores que $r$, sino que en cambio $|x| \leq r$, $|y| \leq r$. Esto aún puede asegurar que $r^2 \geq y^2$ y así $\sqrt{r^2-y^2}$ sea real.

Después de la primera integral

$$\int_{-r}^r\int_{-\sqrt{r^2-y^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}}\mathrm dx\mathrm dy= \int_{-r}^r2\sqrt{r^2-y^2}\mathrm dy$$

En lugar del cambio de variable, puede recordar la integral conocida:

$$\int \sqrt{r^2 - y^2} = \frac{1}{2} \left( r^2 \arcsin \frac{y}{r} + y \sqrt{r^2 - y^2} \right) + C$$

cuya condición $|y| \leq |r|$ acaba de ser mencionada y se cumple. El resultado se sigue casi inmediatamente:

$$\int_{-r}^r 2 \sqrt{r^2 - y^2} \mathrm{d} y = \left[ r^2 \arcsin \frac{y}{r} + y \sqrt{r^2 - y^2} \ \right]_{-r}^r = r^2 \arcsin (1) - r^2 \arcsin (-1) = \\ = r^2 \frac{\pi}{2} + r^2 \frac{\pi}{2} = \pi r^2$$

Por lo tanto, usando las coordenadas cartesianas, la única observación importante es simplemente considerar los valores extremos correctos para cada variable.

Usando la ecuación de la circunferencia $x^2 + y^2 = r^2$, puedes elegir $x$ como una función de $y$, obteniendo $x = \pm \sqrt{r^2 - y^2}$, que serán los valores extremos para $x$. Luego, dejas que $y$ varíe desde $-r$ hasta $r$, que son los valores extremos para $y$. Por supuesto, también puedes hacerlo al revés, con $y$ como función de $x$.

A diferencia de las coordenadas cilíndricas, no hay variación angular aquí, sino solo una variación horizontal entre $- \sqrt{r^2 - y^2}$ y $\sqrt{r^2 - y^2}$ en lo que respecta a $x$, y una variación vertical entre $-r$ y $r$ en lo que respecta a $y$.

Answer 4

¿Te refieres a algo así?

$$\int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{+\sqrt{a^2-x^2}} 1 \, dy \, dx$$

Answer 5

Reconozco que esto no está en el contexto de la pregunta, pero parece que hiciste la pregunta por curiosidad. De hecho, utilizando el Teorema de Green puedes obtener el resultado con la integral única,

$$\frac{1}{2} \oint_C x \ dy - y \ dx$$

donde $C$ es la curva subyacente para la parametrización $\gamma(t) = (R \cos t , R \sin t)$ y $0 \leq t\leq 2 \pi$.