Simetrías y valores propios del laplaciano.

Question

Consideremos un dominio $\Omega \subseteq \mathbb R^2$ suficientemente suave, y el valor propio para el laplaciano \begin {align} - \Delta u &= \lambda u &x \in\Omega\\ u &= 0 &x \in \partial \Omega \end {align} Me interesa una relación explícita entre el grupo de simetrías de $\Omega$ y la multiplicidad de los valores propios de $-\Delta$ La idea es que si tengo una simetría $R$ y una función propia $u$ entonces $u(R(x))$ será también una función propia con el mismo valor propio. Por ejemplo, en el caso del cuadrado tenemos como grupo de simetría $D_4$ En este caso una base de funciones propias es (para el cuadrado con lados de longitud $\pi$ ) $$u_{nm}(x,y) = \sin(n x)\sin(m y)$$ por lo que para $n \not=m$ tenemos que $u_{nm}$ y $u_{mn}$ son dos funciones l.i. asociadas al mismo valor propio, y podemos obtener una a partir de la otra con la simetría $R:(x,y) \rightarrow (y,x)$ Pero no todas las degeneraciones pueden atribuirse a las simetrías, por ejemplo $u_{5,5}$ y $u_{1,7}$ están asociados al mismo valor propio, pero no hay simetría entre ellos.

Por otro lado, las simetrías no implican degeneración, por ejemplo para un rectángulo con relación de aspecto que no sea la raíz cuadrada de un racional, el espectro es simple, pero sigue teniendo algunas simetrías $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ .

En particular, me gustaría saber si la ausencia de simetrías implica la no degeneración del espectro.

Answer 1

Para la última pregunta, ya ha dado una respuesta. Te diste cuenta de que en la plaza, $u_{5,5}$ y $u_{1,7}$ no están unidos por simetrías, pero tienen los mismos valores propios.

Observe ahora que las funciones de los senos toman el valor cero en cualquier múltiplo de $\pi$ para poder construir un dominio no simétrico $\Omega$ pegando cuadrados adyacentes. Por ejemplo, tome $$\Omega = [-\pi,\pi]^2 \,\,\cup\,\, [-\pi,\pi]\times[\pi,3\pi]\,\,\cup\,\, [\pi,3\pi]\times[-\pi,\pi]\,\,\cup\,\, [3\pi,5\pi]\times[-\pi,\pi]$$ Este dominio no tiene simetrías, pero $u_{5,5}$ y $u_{1,7}$ siguen siendo l.i. y tienen los mismos valores propios.