u es una función de 3 dimensiones, estoy tratando de probar esto: $\|u\|_4^4 \leq C \|u\|^2_{H^1} \|u\|_{L^2}^2$ ¿Alguien puede arrojar luz sobre esto? Muchas gracias.
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ellya
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No creo que la desigualdad sea correcta, una aplicación de la desigualdad de interpolación Gigliardo-Nirenberg http://en.wikipedia.org/wiki/Gagliardo%E2%80%93Nirenberg_interpolation_inequality , para $p,q,r\in[1,\infty]$ , $j,m\in\Bbb N_0$ donde $$\frac{1}{p} = \frac{j}{n} + \left( \frac{1}{r} - \frac{m}{n} \right) \alpha + \frac{1 - \alpha}{q},$$ entonces $$ \| \mathrm{D}^{j} u \|_{L^{p}} \leq C \| \mathrm{D}^{m} u \|_{L^{r}}^{\alpha} \| u \|_{L^{q}}^{1 - \alpha}.$$ Aquí $q=r=2$ , $p=4$ , $n=3$ , $j=0$ $m=1$ Así que $$\frac{1}{4}=0+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})\alpha+\frac{1}{2}-\frac{\alpha}{2},$$ $$\alpha = \frac{3}{4}.$$ Esto da como resultado $\|u\|_4^4\le C\|\nabla u\|_2^3\|u\|_2$ . Esto se puede demostrar directamente asumiendo $u\in H^1_0$ .
En primer lugar $$\|u\|^4_4=\|u^4\|_1=\||u||u|^3\|_1\le\|u\|_2\|u\|_6^3,$$ esta última se desprende de la desigualdad de los titulares, ahora mi suposición es que $u\in H^1_0$ que está incrustado de forma compacta en $L^{2*}$ , donde $2^*=\frac{2n}{n-2}=6$ (para $n=3$ ), por lo que $H^1\subset\subset L^6$ es decir $\|u\|_6\le C\|u\|_{H^1_0}$ y así $$\|u\|^4_4\le \|u\|_2\|u\|_6\le C\|u\|_2\|\nabla u\|_{2}^3.$$
