demostrar que $\int_Xfd\mu = (\mu \times \lambda)(\{(x,y)\} \in X \times \mathbb{R};0\leq y\leq f(x))$

Question

La pregunta es:

sea f una función medible no negativa sobre un espacio de medidas sigma-finito $(X,\mathbb{F},\mu)$ y que $\lambda$ denota la medida lesbiana en $\mathbb{R}$ . Demuestra que:

$\int_Xfd\mu = (\mu \times \lambda)(\{(x,y)\} \in X \times \mathbb{R};0\leq y\leq f(x))$

Para demostrar esto voy a tratar de demostrarlo para funciones indicadoras y funciones simples primero para poder eventualmente usar el teorema de Beppo Levi.

El problema es que la notación es bastante confusa si tomo $f(x) = 1_A(x)$ Me sale:

$\int_Xfd\mu = \int_X1_A(x)d\mu = I_mu(A) = \mu(A)$

No veo cómo ir más allá, ¿cómo obtengo un producto cartesiano con la medida lesbiana?

¡Gracias por la ayuda de antemano!

Kees

Answer 1

Una pista: Escriba $$\int_X f(x) \, d\mu(x) = \int_X \left( \int_0^{f(x) }1 \, \lambda(dy) \right) \, d\mu(x) = \int_X \left( \int_{\mathbb{R}} 1_{[0,f(x)]}(y) \, \lambda(dy) \right) \, d\mu(x).$$