Estoy estudiando las integrales dobles (la parte teórica, no la resolución de problemas). Estamos tratando de derivar la fórmula para la sustitución polar en una integral doble:
$$\iint_{D}f(x, y)dxdy = \iint_{D_1}f(r\cos\theta, r\sin\theta)rdrd\theta$$ donde $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ mapas $D_1 \to D$
En primer lugar quiero decir que en el libro de texto se indica explícitamente que no vamos a demostrar la fórmula general de las sustituciones en la integral (la que utiliza el jacobiano) sino, sólo por ahora, la fórmula de la sustitución polar.
Comienza definiendo un conjunto $S := \big\{(r, \theta)|\bar{r_1} \leq r\leq \bar{r_2}, \bar{\theta_1} \leq \theta \leq \bar{\theta_2}\big\}$ y dividiendo este conjunto mediante líneas/curvas $r = r_j$ y $\theta = \theta_j$ donde: $$r_j := \bar{r_1} + j\triangle r, \text{where } \triangle r := \frac{\bar{r_2} - \bar{r_1}}{n} \\\theta_j:= \bar{\theta_1}+j\triangle \theta, \text{where } \triangle\theta := \frac{\bar{\theta_2} - \bar{\theta_1}}{n} $$
y $j=0, 1, ..., n$
Esta parte está clara, es bastante similar a dividir una región rectangular cuando se define una integral doble en sí misma.
Así que una ilustración sería algo así (perdón por la mala imagen, no pude encontrar la manera de hacerlo en Desmos):
La siguiente frase me confunde mucho porque se da por supuesta (sin explicación alguna):
Si nos fijamos en la región $\big\{ (r, \theta)| r_0 \leq r \leq r_0 + \triangle r, \theta_0 \leq \theta \leq \theta_0 + \triangle \theta \big\}$ observamos que el área de esa región es $$\frac{1}{2}\triangle \theta ((r_0 + \triangle r)^2 - r_0^2) = (r_0 + \frac{\triangle r}{2})\triangle r \triangle \theta$$
La región de la que hablamos es, por lo que veo, la subregión "inferior derecha" del conjunto $S$ ya que $r_0 = \bar{r_1}, \theta_0 = \bar{\theta_1}$ . Lo que no veo es cómo lo que han dicho es la zona de esa región? Hablando en términos polares la región definida debería ser en realidad un rectángulo, así que supongo que el área debería ser simplemente $\triangle r \triangle \theta$ pero aparentemente me estoy perdiendo algo. Después de esta afirmación pasa a mostrar la fórmula que he mencionado anteriormente y todo está claro a partir de aquí, es sólo esta parte que no puedo entender.
¿Alguna idea?
Gracias.
