¿Cuándo dos mapas de holonomía determinar paquetes planos que son isomorfos como paquetes solo (sin respeto a las conexiones planas)?

Question

Supongamos que tenemos una superficie S (aunque la pregunta puede hacer mucho sentido en dimensiones superiores) y un grupo topológico G. Los datos de un plano vector paquete en S (hasta isomorfismo) es el mismo que el de un holonomy representación $\pi_1(S) \to G$; tenga en cuenta que esto incluye tanto el paquete y la estructura plana. Para el propósito de definir isomorphisms entre el plano de paquetes, también podemos pensar en ellos en Steenrod de la terminología: un plano G-bundle es la misma cosa como una G'-bundle, donde G'=G como un grupo, pero tiene la topología discreta.

Hay una manera de saber cuándo dos G'-paquetes de más de S son isomorfos como G-paquetes (en otras palabras, cuando son dos planos paquetes isomorfo sin respecto a la estructura plana)? En otras palabras, si dos planos G'-los paquetes son isomorfos como G-haces, ¿qué podemos decir acerca de la holonomy mapas (y no hay una si y sólo si la instrucción)? Qué importa si los paquetes son de principal o no?

ACTUALIZACIÓN: LA MOTIVACIÓN.: Voy a añadir un par de palabras acerca de mi motivación (tenía mis dudas, ya que esto hace que la cuestión de un poco menos específico). Un papel de William Goldman demuestra que en los casos de $G=PSL_2(\mathbb R)$ o $G=PSL_2(\mathbb C)$, las clases de isomorfismo de G-paquetes corresponden exactamente a la ruta de los componentes de la representación de la variedad (véase Igor respuesta a continuación para obtener más información, Dan comentario para más ejemplos, cuando eso sucede, y Joel comentario de ejemplos en los que que no no suceda). Lo más interesante es que el mismo artículo se demuestra que en el caso de $G=PSL_2(\mathbb R)$ todas las representaciones en el camino-componente que corresponde a la tangente del paquete a la superficie de llegar a ser fieles, y para tener un discreto imagen, por lo que el cociente de la correspondiente $\mathbb H^2$-bundle por la acción de la $\pi_1(S)$ le da una agradable superficie hiperbólica diffeomorphic a S. Esto no sucede en el caso de $G=PSL_2(\mathbb C)$. Estoy tratando de entender qué partes de este lugar misterioso situación puede ser entendido en términos generales, y que no puede.

Muchas gracias - la respuesta de la gente ya se dio son muy útiles! Parece que no podría ser una buena respuesta general, pero todavía estoy muy interesado en lo que puede ser dicho.

Answer 1

Un director de lote es plano si tiene un plano de la conexión, y la clase de equivalencia de la plana conexiones da una estructura plana en el paquete. Ahora, por supuesto, un isomorfismo de los principales paquetes que admitir planos de estructuras, no es necesario conservar los planos de estructuras. Por ejemplo, considere dos homomorphisms $\pi_1(S)\to G$ que se encuentran en el mismo camino de los componentes de la representación de la variedad. El camino de unirse a ellos define una $G$-paquete de más de $S\times I$, de modo que por la cubierta homotopy teorema de cualquier piso de dos paquetes en el camino son isomorfos como director de paquetes. Por otra parte, piso de dos paquetes son equivalentes si y sólo si el correspondiente homomorphisms son conjugadas.

Exactamente el mismo argumento se aplica a los no-director de tv de paquetes, por ejemplo, paquetes con fibra de $F$ inducida por homomorphisms $\pi_1(S)\to Diff(F)$.

Answer 2

La costumbre topología algebraica manera de abordar este es el considerar a la identidad como un mapa continuo de $G$ con la topología discreta ( $G^d$ ) $G$ como una mentira grupo. A continuación, un homomorphism $\pi_1(X)\to G$ es el mismo (modulo de la conjugación, que no afecta a tu pregunta) como un homotopy clase de mapas de $X\to BG^d$. La directora $G$ paquete que corresponde a éste es dada por el compuesto $X\to BG^d\to BG$. Por lo que el (no siempre útil) consecuencia es que tu pregunta es acerca de la comprensión de los kernel/imagen de $[X,BG^d]\to[X,BG]$. Una cosa que se ve es que el carácter de las clases que usted consigue en el piso paquetes factor a través de $H^*(BG)\to H^*(BG^d)$. Como Igor B. notas, cuando Chern-Weil teoría se aplica a usted a la conclusión de que la característica de las clases son de torsión.

Por ejemplo, para $G=U(1)$ (y lo mismo para cualquier abelian $G$) $BG^d=K(R/Z,1)$, $BG=BU(1)=K(Z,2)$ y $[X,BG^d]\to [X, BG]$ es sólo el Bockstein $H^1(X;R/Z)\to H^2(X;Z)$, que se lleva a $\pi_1(X)\to U(1)$ a la primera clase de Chern de la base del paquete. Así se calcula con el coeficiente de la secuencia exacta le informa sobre el núcleo (lo que planas $U(1)$ paquetes son triviales como paquetes) y la imagen (¿qué haces admitir planas $U(1)$ conexiones).

Esta perspectiva también es útil cuando se combina con obstrucción de la teoría, e.g se puede utilizar para determinar si una representación $\pi_1X\to SO(n)$ ascensores $Spin(n)$ preguntando la misma cosa sobre el mapa de $X\to BSO(n)^d$ y el fibration $BSpin(n)^d\to BSO(n)^d$.

Answer 3

Permítanme hablar de una variante de la pregunta, donde trabajo en el holomorphic, o algebraica, de la categoría; no estoy seguro de la parte superior de mi cabeza lo cerca que está a la pregunta original.

Supongamos que $S$, de hecho, tiene la estructura de una curva algebraica; o lo que es lo mismo) como una superficie de Riemann.

A continuación, la definición de la integral--Hilbert correspondencia dice que monodromy representaciones (que es el algebraicas geómetras palabra para lo que en la pregunta se llama holonomy reprsentations) $\pi_1(S) \to GL_n(\mathbb C)$ corresponden a holomorphic vector de paquetes de $\mathcal E$ $S$ equipada con un holomorphic plana de conexión. Mi impresión es que luego no es tan fácil de determinar el isomorfismo de la clase de $\mathcal E$ como holomorphic paquete, dado que los datos de la monodromy representación. No sé referencias para esto, pero sé que hay otras personas de la lectura MO que hacer; tal vez uno de ellos va a meter la cuchara.

Mi impresión en la pregunta original es que uno está trabajando en el desarrollo de la categoría, en lugar de la holomorphic/algebraicas categoría y, a continuación, la clase de equivalencia de a $\mathcal E$ es mucho más grueso de todos los idiomas, supongo. En su respuesta, Igor Belegradek da una condición suficiente para la haces para ser isomorfo (acostado en el mismo camino de los componentes de la representación de la variedad); me pregunto cómo cerrar esta es de ser necesarios?

Answer 4

Para un abelian estructura de grupo $A$, directora $A$-paquetes a través de una suave colector $M$ puede ser descrito completamente en términos de su holonomy funcionales $f: LM \to A$.

Aquí, $LM$ es la delgada bucle espacio cuyos elementos son homotopy clases de bucles, con el rango de la homotopies delimitada por uno. Un mapa de $f:LM \to A$ es, por definición, liso, si su pullback a la asamblea general ordinaria de bucle espacio es suave (en el sentido de Fréchet).

Definición. Un mapa de fusión es un buen mapa de $f: LM \to A$ tal que para cada triple $(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)$ de las rutas en las $M$, con un punto inicial y un punto final, y cada camino es sin problemas se puede componer con la inversa de la otra, el mapa satisface $$ f(\overline{\gamma_2} \estrellas \gamma_1) \cdot f(\overline{\gamma_3} \estrellas \gamma_2) = f(\overline{\gamma_3} \estrellas \gamma_1). $$

Teorema.

1. El grupo de clases de isomorfismo de director de la $A$-paquetes con conexión a través de $M$ es isomorfo al grupo de los mapas de fusión.

2. El grupo de clases de isomorfismo de director de la $A$-paquetes con la plana de conexión a través de $M$ es isomorfo al grupo de localmente constante mapas de fusión.

3. El grupo de clases de isomorfismo de director de la $A$-paquetes de más de $M$ es isomorfo al grupo de homotopy clases de mapas de fusión (donde el homotopies son suaves e ir a través de mapas de fusión).

Las partes 1 y 2 son un teorema de J. Barrett, demostró en "Holonomy y la Ruta de las Estructuras en la Relatividad General y Yand-Molinos de Teoría". La parte 3 está en mi papel de "Transgresión de Bucle Espacios y su Inverso yo".

Corolario. De dos principal de $A$-paquetes con la conexión (no importa si es plana o no) son isomorfos como paquetes, si y sólo si sus holonomy funcionales son homotópica en el sentido de 3.

La no-abelian caso debe ser similar. De hecho, el esófago de Barrett resultado es válido para los no-abelian grupos.