Si juegas a un juego en el que lanzas una moneda si sale cara ganas 1€ y si sale cruz pierdes 1€.Si empiezas con $£K$ ¿cuál es la probabilidad de que esté en bancarrota después de $n$ ¿juegos?
MI INTENTO
Acabo de empezar a aprender sobre Paseos Aleatorios Cortos, pero no estoy seguro de cómo resolver esto mientras se descarta la posibilidad de que el paseo no baje de cero (juego después de la quiebra) antes de la enésima vuelta, cualquier ayuda sería apreciada.
Supongamos que seguimos jugando aunque vayamos a la quiebra (posiblemente acabando en números negativos como si acabáramos con deudas), el dinero que tienes después de $n$ las monedas se distribuirían como $X = K-n + 2 Bin(0.5,n)$ donde $Bin(p,n)$ denota una distribución binomial.
Una observación importante es que la probabilidad de alcanzar $0$ libras en algún lugar durante el juego y terminando con $k$ libras es la misma que la probabilidad de terminar con $-k$ libras. Esto se puede ver volteando la última parte del paseo aleatorio después de llegar a cero. Por lo tanto, la probabilidad de quebrar es $2P\{X<0\} + P\{X=0\}$ .
Esto es $2P\{Bin(0.5,n)<\frac{n-k}{2}\} + P\{Bin(0.5,n)=\frac{n-k}{2}\}$ que se puede calcular exactamente o se puede aproximar utilizando el teorema del límite central.
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