¿Cómo se sabe si una integral es imposible?

Question

¿Existen trucos que uno pueda utilizar al mirar expresiones integrales para determinar si una es fácilmente calculable o no? Por ejemplo: $$A = \int \frac{dx}{\ln(1+x^2)} \quad B = \int \frac{dx}{x\ln(x^2)}$$ Wolfram encuentra una respuesta para $B$ pero no uno para $A$ aunque $A$ parece más fácil. Me gustaría saber por qué y también cómo/si se puede mirar una integral y ver si es soluble o no. Con "solucionable", me refiero a que para un estudiante universitario y no usando números no reales o matemáticas muy avanzadas. :) Sé que la mayoría de las integrales no se pueden resolver analíticamente, pero estoy pensando en las que pueden aparecer en los exámenes.

Answer 1

La integración es "difícil". No hay un enfoque sistemático que funcione a mano para la mayoría de las integrales. Cuando se trata de integrar en los exámenes, lo mejor es practicar la integración de muchas cosas diferentes hasta que empieces a reconocer patrones.

Muchas funciones integrables son de la forma

$$\int f'(x)g'(f(x))\mathrm{d}x = g(f(x))+c$$

Su segundo ejemplo puede considerarse de esta forma:

$$\frac{1}{\ln(x^2)} = \frac{1}{2\ln(x)}$$

$$\frac{1}{2x\ln(x)} = \frac{1}{2}\frac{1}{x}\frac{1}{\ln(x)} = \frac{1}{2}\ln'(x)\ln'(\ln(x))$$

$$\int \frac{1}{x\ln(x^2)} = \int \frac{1}{2}\ln'(x)\ln'(\ln(x)) = \frac{1}{2}\ln(\ln(x))+c$$

La clave es ser capaz de notar estos patrones, y creo que la única manera de hacerlo es a través de la práctica.

En cuanto a la integrabilidad "en teoría", esto es totalmente diferente a si puedes o no integrar a mano en un examen, y los comentarios debajo de tu pregunta son bastante buenos :)

Answer 2

El algoritmo de Risch le ayudará, ya que convierte un problema que implica una integral en un problema algebraico.

Se basa en la forma de la función que se integra y en los métodos para integrar funciones racionales, radicales, trigonométricas, logarítmicas, exponenciales y funciones "especiales", por ejemplo, la función Zeta de Riemann.

El propio Risch lo llamó procedimiento de decisión, porque es un método para decidir si una función tiene una función elemental como integral indefinida, y si la tiene, para determinar esa integral indefinida.

ADVERTENCIA: La descripción completa del algoritmo Risch ocupa más de 100 páginas.

La integración es mucho más difícil que la diferenciación. La mayoría de las funciones, si se combinan al azar, no pueden integrarse en términos de funciones elementales, por ejemplo, f(x) = x^x no es integrable, sin embargo el algoritmo de Risch da su valor en el punto x=0, simplicado (!!) dejando fuera un número infinito de términos muy pequeños.

La mayoría de la gente se sorprenderá de su aparente complejidad, pero su valor en x=0 se muestra aquí:

https://i.stack.imgur.com/0DFNi.gif

Gracias al buen Dios por las aplicaciones de algoritmos informáticos.