Teoría de los números: demuestre que ${ 1^2, 2^2, 3^2,... , m^2}$ no puede ser un sistema de residuos completo

Question

¿Es esta una respuesta aceptable?

Pregunta: demuestre que ${ 1^2, 2^2, 3^2,... , m^2}$ no puede ser un sistema de residuos completo.

Dado que lo anterior tiene $m$ elementos, hay que demostrar que no puede ser un sistema de residuos completo modulo $m$ . Consideremos el sistema completo de residuos módulo m:

{1,2,3,... , $m$ }. Ahora entre los dos el primer elemento $1^2$ y $1$ partidos. Pero qué pasa con el penúltimo elemento $ (m-1)^2$ . Aquí tenemos $(m-1)^2$ = $m^2 -2m +1$ que es claramente congruente con el primer elemento, $1$ , modulo m.

Por lo tanto, existen dos elementos congruentes módulo $m$ entre sí en ${ 1^2, 2^2, 3^2,... , m^2}$ por lo que no puede ser un sistema de residuos completo.

Answer 1

Sí, es correcto: porque has encontrado dos elementos congruentes en el conjunto $\{1^2,\ldots,m^2\}$ no puede formar un sistema completo de residuos (lo que significaría que tenemos $m$ números incongruentes entre sí).
Sin embargo, cuando $m\leq2$ entonces $m-1\equiv1\pmod m$ y no se obtiene una contradicción al mostrar $(m-1)^2\equiv1^2$ .
Así que es correcto para $m>2$ .

Answer 2

Creo que $1^{2},2^{2},....,m^{2}$ no es un sistema de residuos completo cuando $m$ es un impar. Para ello basta con demostrar que dos elementos de este conjunto son congruentes entre sí