Ejemplo que no se puede $\lambda$ -Medible

Question

Estoy viendo esta definición:

Dada una medida exterior $\lambda$ en $X$ llamamos a un subconjunto $A$ en $X$ $\lambda$ -si para cada subconjunto $B \subset X$ , $$\lambda(B)=\lambda(B \cap A) + \lambda(B \cap A^c)$$

¿Hay algún ejemplo de que un subconjunto no sea $\lambda$ -¿Medible?

Answer 1

La respuesta es que depende de la medida exterior. En algunos casos, todos los conjuntos son mensurables: considere la medida $\lambda$ en $\mathbb R$ definido por $\lambda(E) = 1$ si $0 \in E$ y $\lambda(E) = 0$ de lo contrario. En otros (como la medida de Lebesgue sobre la línea) existen conjuntos no medibles.

Answer 2

Dada una medida exterior como la longitud infima de coberturas de intervalos abiertos, la condición que defines (el Criterio de Caratheodory) nos dice qué conjuntos son medibles por Lebesgue. Así que todo conjunto que es medible por Lebesgue satisface el Criterio de Caratheodoria y todo conjunto que satisface el Criterio de Caratheodoria es medible por Lebesgue. Como hay conjuntos que no son medibles por Lebesgue, entonces esos son precisamente los conjuntos que no satisfacen tu condición.