$\ f(x)=\log _{x-2}\left(\frac{2x+3}{7-x}\right)<1 $

Question

$$\ f(x)=\log _{x-2}\left(\frac{2x+3}{7-x}\right) $$ Que es la solución de $\ f(x)<1 $ ? Lo hice: $$\ \frac{2x+3}{7-x}>0 $$ $\ x<7 $ resultados en $\ x> \frac{-3}{2} $ mientras que $\ x>7 $ resultados en $\ x< \frac{-3}{2} $ por lo que x=( $\ \frac{-3}{2} $ 7) y también $\ x-2>0 $ así que $\ x>2 $ $$\ x=(2,7)-\{3\} $$ Así que después de averiguar dónde $\ f $ se define, hice esto: $$\log _{x-2}\left(\frac{2x+3}{7-x}\right) <\log \:_{x-2}\left(x-2\right) $$

$$\ \frac{2x+3}{7-x} <x-2 $$ $$\ x^2-7x+17<0 $$ Y me imaginé que debía haber cometido un error en alguna parte como $\ d<0 $ y $\ x^2 $ El coeficiente de la empresa es $\ >0 $ así que $\ f $ sería $\ >0$ . ¿Podría decirme dónde está mi error? La respuesta correcta es $\ x=(2,3) $

Answer 1

$$\log _{(x-2)}\left(\frac{2x+3}{7-x}\right)<1$$

Sugerencia

$1)$ $x-2>0$ y $x-2\ne 1$

$2)$ $\frac{2x+3}{7-x}>0$

$2)$ Si $x-2>1$ entonces

$$\frac{2x+3}{7-x}<x-2$$

$3)$ Si $0<x-2<1$ entonces

$$\frac{2x+3}{7-x}>x-2$$

Ahora puedes resolverlo.

Answer 2

El dominio da $2<x<7$ , $x\neq3$ y como $\frac{2x+3}{7-x}\neq x-2$ ,

obtenemos la respuesta sin ningún caso inmediatamente por el método de los intervalos: $$(2,3).$$ ¡Hecho!