Existencia de una secuencia compleja con una propiedad determinada

Question

Cómo demostrar la existencia de una secuencia compleja $(z_n)$ con $z_n\ne 1, \forall n$ pero $\lim_{n\to\infty}z_n=1$ tal que $\lim_{n\to \infty}\sin(\frac{1}{1-z_n})=100$ ? ¿Puede escribirse explícitamente esa secuencia?

Answer 1

Pista: Resuelve $w^{2}-200iw-1=0$ . A continuación, elija $\zeta_n \to \infty$ tal que $e^{i\zeta_n} =w$ para todos $n$ . ( Toma $c$ con $e^{ic}=w$ y tomar $\zeta_n =2n\pi +c$ ). Por último, tome $z_n=1-\frac 1{\zeta_n}$ .