Demostrar que $\sin(x^2) = \mathcal{o}(x)$

Question

Intenté hacerlo así:
$$ \sin(x^2) = \mathcal{o}(x) \iff \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x} = 0$$
podríamos conseguir $\sin(x^2)$ de la serie Taylor.
Para $x_0 = 0$ , $T_n = 0$ por cada $n$ .
Así que desde el resto de Peano ( $\lim_{x\to 0}r(x)=0$ ) tenemos:
$$\lim_{x\to 0}\sin(x^2) = 0$$
lo que significa $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x} = 0$$

¿Es esto correcto?

Answer 1

¿Por qué no usar eso? $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{x^2}=1 ?$$ Tenga en cuenta entonces que $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{x^2}x=1\cdot 0=0 $$

Answer 2

Puedes utilizar la regla de L'Hopital si quieres mostrar $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{x} = 0$ porque al tomar las derivadas del numerador y del denominador se obtiene $\lim_{x \to 0} \frac{2x \cos x^2}{1} = 0$ .