Ayuda en el coeficiente diferencial parcial.

Question

Esto puede parecer una tontería, pero estoy algo atascado:

Si $\eta=\eta(x,y)$ y $\tau=\tau(x,y)$

$$p=\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial \tau}\frac{\partial \tau}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x}$$

$$q=\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial \tau}\frac{\partial \tau}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial y}$$ Entonces tengo que encontrar $r=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$

Considere la primera parte de $\frac{\partial}{\partial x}(p)$ $$\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial z}{\partial n} \frac{\partial \eta}{\partial x}\bigg)=\frac{\partial^2 z}{\partial \eta^2}\bigg(\frac{\partial \eta}{\partial x}\bigg)^2+\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2}$$

Siento que estoy cometiendo un error aquí, ya que La respuesta dada es

$$\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial z}{\partial n} \frac{\partial \eta}{\partial x}\bigg)=\frac{\partial^2 z}{\partial \eta^2}\bigg(\frac{\partial \eta}{\partial x}\bigg)^2+\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 z}{\partial \eta \partial \tau}\frac{\partial \tau}{\partial x}\frac{\partial n}{\partial x} $$

¿Puede alguien indicar de dónde procede este término adicional?

la otra parte se basará en la corrección de esto, señalar el error en esta parte ayudará.

Answer 1

Aplicando la regla del producto obtenemos: $$\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial z}{\partial n} \frac{\partial \eta}{\partial x}\bigg)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial \eta} \right)\frac{\partial \eta}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial \eta}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \eta}{\partial x} \right).$$

Aplicando la regla de la cadena tenemos: $$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial \eta} \right) = \frac{\partial \eta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \eta}\left(\frac{\partial z}{\partial \eta}\right)+\frac{\partial \tau}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\frac{\partial z}{\partial \eta}\right)\tag{1}$$ y de ahí se obtiene el resultado esperado.

Permítanme ser más explícito en el cálculo de $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial \eta} \right)$ . Estamos pensando en $z$ como una función sobre las variables $(\eta,\tau)$ . Además de eso, $\eta$ y $\tau$ son funciones de $x$ y $y$ . Ahora, lo mismo ocurre con $f(\eta,\tau) := \frac{\partial z}{\partial \eta}$ . La función $f$ depende de $(\eta,\tau)$ . Aplicando la regla de la cadena obtenemos: $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial \eta}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial \eta}+\frac{\partial \tau}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial \tau}. \tag{2}$$

La expresión $\frac{\partial f}{\partial x} $ es una forma más corta de escribir $\frac{\partial }{\partial x}\left[f(\eta(x,y),\tau(x,y))\right] $ .

Así que, poniendo $f= \frac{\partial z}{\partial \eta}$ en la ecuación $(2)$ obtenemos la ecuación $(1)$ .