Prueba de que una función en $\mathbb{R}^2$ es diferenciable en un punto $a$ .

Question

Me cuesta una prueba de cálculo multivariable:

Dejemos que $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función continua diferenciable en $\mathbb{R}^2\backslash \{a\}$ con $a\in\mathbb{R}^2$ . El límite $\lambda:=\lim_{x\rightarrow a}\nabla f(x)$ existe. Demuestre que $f$ es diferenciable en el punto $a$ También se demuestra que $\nabla f(a)=\lambda$ .

Creo que esta afirmación se puede demostrar utilizando el Teorema del Valor Medio para múltiples variables, pero no sé cómo hacerlo. Les agradecería su ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin {eqnarray} f(a+h)-f(a) - \lambda h &=& f((a_1+h_1,a_2+h_2))-f((a_1,a_2+h_2)) \\ & & \ ~ - +f((a_1,a_2+h_2)) - f(a) - \lambda h \\ &=& { \partial f(a_1+ \xi_1 a_2+h_2) \over \partial x_1}h_1 + { \partial f(a_1,a_2+ \xi_2 ) \over \partial x_2}h_2 - \lambda h \end {eqnarray} para algunos $\xi_1 \in (a_1,a_1+h_1), \xi_2 \in (a_2,a_2+h_2)$ .

Desde ${\partial f(x) \over \partial x} \to \lambda$ para cualquier $\epsilon>0$ podemos encontrar algunos $\delta>0$ tal que $\|{\partial f(a+h) \over \partial x} - \lambda\| <\epsilon$ para todos $\|h\| < \delta$ . Entonces lo anterior demuestra que $\|f(a+h)-f(a) - \lambda h \| \le \epsilon \|h\|$ . Por lo tanto, $f$ es diferenciable en $a$ con la derivada $\lambda$ .

Alternativa :

Tenga en cuenta que ${\partial f(x) \over \partial x}$ está acotado en una vecindad punteada de $a$ y por tanto está acotado en cualquier segmento de la forma $(a,x)$ (es decir, el segmento de línea sin incluir los puntos finales) siempre que $x$ está en este barrio perforado.

Por lo tanto, para cualquier cantidad suficientemente pequeña de $h$ la función $\phi(t)=f(a+th)$ es absolutamente continua y por tanto $\phi(1) = \phi(0) + \int_0^1 \phi'(t) dt$ .

Por lo tanto, $f(a+h) - f(a) - \lambda h = \int_0^1 ({\partial f(a+th) \over \partial x}-\lambda)dt h$ .

Dejemos que $\epsilon >0$ y elija $\delta>0$ tal que $\|{\partial f(x) \over \partial x}-\lambda\| < \epsilon$ siempre que $\|h\| < \delta$ . Entonces $\|f(a+h)-f(a) - \lambda h \| \le \epsilon \|h\|$ .