¿Es la simetría del espaciotiempo una simetría gauge?

Question

En preguntas anteriores mías aquí y aquí se estableció que la Relatividad Especial, como un caso especial de la Relatividad General, puede ser considerada como la teoría de una variedad (suave) de Lorentz $(M,g)$ donde $M$ es globalmente difeomorfo a (la estructura dif. estándar de) $\mathbb{R}^4$ y $g$ es un campo tensorial métrico globalmente plano con firma $(+---)$ . Nótese que aquí no menciono la orientación temporal, lo que probablemente sea un grave error conceptual por mi parte.

Existe la noción de grupo lineal general $GL(T_pM)$ de cada espacio tangente, y cada uno de ellos tiene un subgrupo $O_g(T_pM)$ de esos mapas lineales, que conservan $G$ . Este grupo de Lie es isomorfo a $O(1,3)$ de matrices que preservan la métrica de Minkowski. De forma similar se obtienen otras $GL(T_pM)$ subgrupos como análogos (e isomorfos) a los subgrupos comúnmente considerados de $O(1,3)$ como sus subgrupos de componentes conectados. Por otro lado, el grupo $$\text{Isom}(M)=\{\phi:M\to M|\ \phi \text{ is a diffeomorphism and } \phi_*g=g\}$$ de isometrías de $M$ es isomorfo al grupo de Poincaré $\text{P}$ como grupo de Lie, tal y como se establece en la segunda pregunta enlazada más arriba. No hay opciones canónicas para los isomorfismos de grupos de Lie mencionados aquí.

En particular, las transformaciones $g\in\text{Isom}(M)$ como actuando en puntos del espaciotiempo $M$ no puede considerarse generada por "mapas lineales y traslaciones", porque la suma de puntos del espaciotiempo no está definida. De hecho, quiero formular la Relatividad Especial de esta manera inusual es principalmente para lograr esto y distinguir claramente entre las transformaciones que actúan sobre los vectores tangentes y sobre los eventos (= puntos del espaciotiempo).

A continuación quiero considerar las aplicaciones de las transformaciones anteriores a varias cosas, y el significado de "invariancia, covariancia e invariancia de forma" de dichas cosas bajo las transformaciones. Esto está relacionado con esta pregunta que no entiendo del todo la respuesta. Estoy pensando en hacer otra pregunta más adelante sobre esta terminología, entendida dentro del marco geométrico anterior (Siéntanse libres de comentar si es una buena idea. La pregunta se ha hecho mil veces pero nunca he entendido del todo las respuestas). Por ahora, asuntos más urgentes:

Considere un mapa $\phi:M\xrightarrow[]{C^{\infty}}\mathbb{R}$ que consideramos como un campo escalar. Eligiendo dos conjuntos arbitrarios de coordenadas globales $x,y:M\xrightarrow[]{C^{\infty}}\mathbb{R}^4$ obtenemos representaciones de coordenadas $ \sideset{_x}{}{\phi}:=\phi\circ x^{-1} $ y $ \sideset{_y}{}{\phi}:=\phi\circ y^{-1} $ . Claramente $\sideset{_x}{}{\phi}=\sideset{_y}{}{\phi}\circ J$ donde $J:=(y\circ x^{-1}):\mathbb{R}^4\xrightarrow[]{C^{\infty}}\mathbb{R}^4$ es la transformación de coordenadas de $x$ a $y$ coordenadas. Consideremos el caso especial en el que $J$ es constante y equivale a una transformación de Poincaré que actúa sobre tuplas de números. Es evidente que en este caso existe una única $S\in\text{Isom}(M)$ tal que $$\sideset{_x}{}{\phi}=\sideset{_y}{}{(\phi\circ S)}:=(\phi\circ S)\circ y^{-1},$$ que viene dado por $S=x^{-1}\circ y$ . Lo que trato de decir es que hay una forma única de transformar un campo $\phi $ en un campo $\phi'=\phi\circ S$ de manera que las representaciones de coordenadas coincidan. Creo que esto se llama transformaciones "activas y pasivas". La correspondencia entre ellas podría expresarse definiendo una representación de coordenadas de un difeomorfismo $\sideset{_y}{}{ S}:=y\circ S\circ y^{-1}$ y notando que $\sideset{_y}{}{ S}=J$ . (Estoy algo sorprendido por no haber conseguido un inverso en alguna parte...)

Mi primera pregunta es: ¿Existe una diferencia conceptual importante en este caso? Establecimos los grupos de simetría transformando vectores y puntos del espaciotiempo, que no son cambios de coordenadas a priori. La "independencia" de la realidad física de la elección de un sistema de coordenadas me parece una trivialidad y debería ser un hecho en CUALQUIER teoría de la física que utilice coordenadas, ¿o estoy viendo esto mal? Las simetrías del espaciotiempo por otro lado son suposiciones no triviales sobre la naturaleza del espacio y el tiempo y para la simetría de Poincaré característica de la Teoría de la Relatividad (¿verdad?). Aquí las diferencias en los grupos de transformación considerados dentro de las diferentes teorías (Clase. Mech=Galilei, SR=Poincaré, GR=(??)Diff) no deberían tener nada que ver con la pereza de definir integrales y derivadas independientes de las coordenadas, ¿no? ¡Tengo la impresión de que toda esa charla sobre "tensores de Lorentz" (es decir, objetos que "se transforman como tensores bajo transformaciones de Lorentz pero no bajo otras más generales") en la formulación relativista especial de la Electrodinámica Clásica se debe principalmente a que nos da pereza explicar las derivadas covariantes ! Las mismas motivaciones que la afirmación de que "el movimiento acelerado no es descrito/describible por la Relatividad Especial" - para mí una afirmación absurda.

Suponiendo que haya es una importante distinción fundamental entre las simetrías del espaciotiempo y la posibilidad de elegir un sistema de coordenadas arbitrario para describir la física, ¿cuál es la motivación para definir la correspondiente transformación de un campo escalar por $\phi'=\phi\circ S^{-1}$ donde $S^{-1}$ es alguna transformación o simetría espacio-temporal? También ¿cómo se debe interpretar la afirmación de que el grupo de simetría de la relatividad general es el grupo de difeomorfismo completo? En particular, todavía no estoy seguro de si es correcto o no pensar que un "observador" implica una elección de coordenadas que describen lo que este observador mide. Esto choca con la afirmación "todos los observadores son equivalentes" (interpretada como: "cualquier coordenada que se quiera puede ser utilizada para describir la misma física") que se utiliza para significar cosas como "todos los observadores ven la misma velocidad de la luz". Ciertamente, si existiera un éter, se podrían utilizar las coordenadas que se quisieran.

Recientemente me he topado con este donde Terence Tao afirma (si he entendido bien) que la fijación de coordenadas es un caso especial de la fijación de galgas. Pregunta 2: ¿Significa eso que la simetría espacio-temporal, como la de Poincaré, es un caso especial de la simetría gauge? Esto se opone a (mi impresión respecto a) la presentación estándar, en la que sólo se denominan simetrías bajo transformaciones de grados de libertad "internos". Creo que las preguntas están muy relacionadas. Mi esperanza es ciertamente que la respuesta a la número 2 sea "no" (mientras que la afirmación de Tao es por supuesto cierta). Muchas gracias por leer todo esto y de antemano por cualquier respuesta o comentario.

Answer 1

Como dices, que podamos elegir cualquier sistema de coordenadas que nos guste para hacer física es una trivialidad, y no el punto de la covarianza general. La cuestión es que las transformaciones de coordenadas/difeomorfismo de $M$ son simetrías de la Acción de Einstein-Hilbert en el sentido de que la acción es invariante bajo ellas.

La importancia de la isometrías de $M$ es que a cada isometría le corresponde una Campo vectorial matador y a cada campo vectorial de Killing le corresponde una cantidad conservada.

Ambas afirmaciones son diferentes de decir que la invariancia bajo transformaciones de coordenadas generales es una simetría gauge. En efecto, se puede considerar la relatividad general como una teoría gauge cuyo grupo gauge es $\mathrm{GL}(4,\mathbb{R})$ y cuyo campo gauge son los símbolos de Christoffel $\Gamma^\mu$ visto como un $\mathrm{GL}(4,\mathbb{R})$ -campo valorado. Lo inusual aquí es que las transformaciones gauge $M \to \mathrm{GL}(4,\mathbb{R})$ se inducen como las matrices jacobianas de los difeomorfismos $ M \to M$ . Por lo tanto, si se considera la conexión dada por $\Gamma$ como una variable dinámica por derecho propio, su ecuación de movimiento inducida por la acción de Einstein-Hilbert son precisamente las condiciones para que sea Levi-Civita. Esta propiedad es especial para la RG/la acción de E-H y no una característica de todo teorías generalmente covariantes, aunque la acción E-H es casi la acción única para una teoría generalmente covariante en la que la métrica es dinámica