Grado de un subpanel libre de torsión

Question

Supongamos que $R$ es una sub-hoja libre de torsión (de rango positivo) en otra hoja libre de torsión $S$ en una variedad proyectiva compleja lisa $X$ .

Si $S$ es (pendiente) semiestable, ¿es cierto que el grado de $R$ es siempre menor o igual que la de $S$ ? Si es así, ¿por qué?

Esta no es una pregunta sobre cómo definir el grado, pero si cree que el método de definición afecta a la respuesta, por favor explíquelo.

Además, prefiero no hacer suposiciones sobre la dimensión de $X$ .

Se agradecería una referencia a un resultado específico en un libro o documento en lugar de una explicación (pero sólo si está seguro de la referencia y la especificidad).

( Nota: La primera frase de la respuesta de Krish que aparece a continuación se refiere a una versión anterior de la pregunta, en la que no se exigía estabilidad).

Answer 1

Esto no es cierto ni siquiera en el caso de los paquetes vectoriales. Tomemos $X = \mathbb{P}^1, S = \mathcal{O}(1) \oplus \mathcal{O}(-1), R = \mathcal{O}(1).$

Nótese que, siempre tenemos la siguiente relación deg $(R) +$ deg $(S/R) =$ deg $(S)$ donde el grado se define con respecto a un divisor amplio fijo en $X.$ Así pues, el grado $(R) \leq$ deg $(S) \Leftrightarrow$ deg $(S/R) \geq 0.$ Incluso si la deg $(S) \geq 0,$ en general puede ocurrir que deg $(S/R) < 0$ (véase el ejemplo anterior).

Pero si $S$ es semiestable, entonces es cierto que deg $(R) \leq$ deg $(S)$ , siempre y cuando deg $(S) \geq 0$ . Si el grado $ (S ) < 0$ entonces no es cierto en general. Tome $ X = \mathbb {P}^n, n \geq 1$ y considerar la siguiente secuencia exacta $$ 0 \rightarrow \mathcal {O}(-1) \rightarrow \mathcal {O}(-1) \oplus \mathcal {O}(-1) \rightarrow \mathcal {O}(-1) \rightarrow 0. $$