Prueba $C_b^j (I, \mathbb{R})$ es un espacio completo

Question

Sea I un intervalo real (posiblemente infinito).

Dejemos que $C_b^j (I, \mathbb{R}) = $ { $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f$ es j veces continuamente diferenciable y $f^{(m)}$ está acotado para $m \leq j$ }

Defina una norma en este espacio que sea

$$||f||_{C^j} = \sum_{m=0}^j || f^{(m)}||_{sup}$$

Quiero demostrar que este espacio (con esta norma) es completo. Sé que cualquier espacio métrico puede ser completado de forma natural, así que WLOG, si { $f_n$ } es cualquier secuencia de Cauchy en $C_b^j (I, \mathbb{R})$ sabemos que existe una función límite $f = lim_{n \rightarrow \infty} f_n$ . La tarea consiste en demostrar que f es un miembro de $C_b^j (I, \mathbb{R})$ .

Sin embargo, aquí tengo problemas técnicos. Si quiero demostrar que f es acotada, continua o diferenciable (j veces), entonces acabo necesitando argumentos delta épsilon basados en la distancia entre $f$ y algunos $f_n$ . Sin embargo, la distancia entre $f$ y $f_n$ se basa en la norma que ya supone que f es j veces diferenciable y que las derivadas están acotadas. ¿Alguien puede arrojar algo de luz sobre esta lógica circular?

Answer 1

El caso $j=0$ debe estar claro. Para $j=1$ nota que $J:C_b^1(I,\mathbb R) \to C_b(I,\mathbb R)^{2}$ , $f\mapsto (f,f')$ es una isometría sobre su rango (si el codominio está dotado de la suma de las normas uniformes de los componentes). Dado que $X^2$ es Banach para un espacio de Banach $X$ y los subespacios cerrados son completos, basta con demostrar que el rango de $J$ está cerrado. Para ver esto compruebe que $(f,g)$ está en el rango si y solo si $f(x)-\int_{a}^xg(t)dt$ es constante (donde $a\in I$ es fijo). Escrito de otra manera, Range $(T)=$ Kern $(S)$ para $S(f,g)(x)=f(x)-f(a)-\int_a^xg(t)dt$ . La continuidad de $S: C_b^1(I,\mathbb R)^2\to C_b^1(I,\mathbb R)$ implica entonces que Kern $(S)$ está cerrado.

Para $j\ge 2$ utilizar la inducción.