Pregunta sobre la transformación canónica

Question

Estaba revisando las notas de mi profesor sobre Transformaciones canónicas . Afirma que una transformación canónica de $(q, p)$ a $(Q, P)$ es uno que si las coordenadas originales obedecen las ecuaciones canónicas de Hamilton, entonces también lo hacen las coordenadas transformadas, aunque para un Hamiltoniano diferente. A continuación, considera, como ejemplo, el hamiltoniano

$$H=\frac{1}{2}p^2,$$

con una transformación:

$$Q = q,$$ $$P = \sqrt{p} - \sqrt{q}.$$

Las notas indican que esta transformación es localmente canónica con respecto a $H$ , y que en las coordenadas transformadas el nuevo hamiltoniano es

$$K = \frac{1}{3} \left( P + \sqrt{Q} \right)^3.$$

No entiendo cómo sabemos que esto es localmente canónico, o lo que realmente significa ser localmente canónico. Además, ¿de dónde sacamos K? Teniendo en cuenta que la transformación inversa sería:

$$q=Q,$$ $$p=\left( P + \sqrt{Q} \right)^2,$$

¿Por qué el nuevo hamiltoniano no es este?

$$K= \frac{1}{2} \left(P + \sqrt{Q} \right)^4,$$

donde todo lo que he hecho es conectar la transformación invertida en el Hamiltoniano original?

Estoy un poco confundido con todo esto. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

¡Qué buena pregunta!

Gracias al usuario lionelbrits por su respuesta que me llevó a sacar mis libros de mecánica y comprobar las definiciones de "transformación canónica" dadas por diferentes autores.

Si buscas en los textos de mecánica clásica de Goldstein en la sección de transformaciones canónicas, entonces encontrarás que las transformaciones canónicas se definen esencialmente así (parafraseo)

Definición de Goldstein: Una transformación $f:\mathcal P\to\mathcal P$ en el espacio de fase $\mathcal P$ es canónica siempre que exista una función del espacio de fase $K$ de manera que si $(q(t), p(t))$ es una solución de las ecuaciones de Hamilton generada por $H$ entonces $(Q(t), P(t)) = f(q(t), p(t))$ es una solución de las ecuaciones de Hamilton generada por $K$ .

Esta es esencialmente la definición dada por lionelbrits en su respuesta.

Por otro lado, si buscamos, por ejemplo, en el texto de mecánica de Spivak, encontraremos la siguiente definición:

Definición de Spivak: Una transformación $f:\mathcal P \to \mathcal P$ en el espacio de fase es canónica siempre que preserve la forma simpléctica.

En términos más concretos (es decir, en coordenadas canónicas), la definición de Spivak puede enunciarse como sigue:

La transformación $f(q,p) = (f^q(q,p), f^p(q,p))$ es canónica si y sólo si su matriz jacobiana (derivada) preserva la matriz simpléctica $J$ , a saber \begin{align} f'(p,q)\,J\,f'(p,q)^t = J \end{align} donde \begin{align} J=\begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{pmatrix} ,\qquad f' = \begin{pmatrix} \frac{\partial f^q}{\partial q} & \frac{\partial f^q}{\partial p} \\ \frac{\partial f^p}{\partial q} & \frac{\partial f^p}{\partial p} \\ \end{pmatrix} \end{align} donde $2n$ es la dimensión del espacio de fase y $I_n$ es el $n\times n$ matriz de identidad.

También resulta que

Si una transformación es canónica en el sentido definido por Spivak, entonces es canónica en el sentido de Goldstein con $K = H\circ f^{-1}$

pero lo contrario no es cierto. De hecho, este ejemplo que usted plantea es un contraejemplo de lo contrario. Lo que lionelbrit mostró en su respuesta es que el ejemplo que has escrito es una transformación canónica en el sentido de Goldstein, pero, como deberías intentar convencerte (yo lo hice), la función $K = H\circ f^{-1}$ que escribiste invirtiendo la transformación y volviendo a introducirla en $H$ conduce a las ecuaciones de Hamilton que no se satisfacen con $(Q(t), P(t)) = f(q(t), p(t))$ . Puedes demostrarlo directamente escribiendo las ecuaciones del movimiento. También puedes demostrarlo calculando el jacobiano de la transformación y mostrando que no preserva la matriz simpléctica. De hecho, deberías encontrar que el jacobiano viene dado por \begin{align} f'(q,p)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2\sqrt{q}} & \frac{1}{2\sqrt{p}} \\ \end{pmatrix} \end{align} y que \begin{align} f'(q,p) J f'(q,p)^t = \frac{1}{2\sqrt{p}} J \end{align} En otras palabras, el jacobiano de la transformación preserva la matriz simpléctica hasta un factor multiplicativo.

Especulación. Voy a arriesgarme y adivinar que tu profesor llama a la definición de Goldstein "transformación canónica local" y a la de Spivak "transformación canónica". Si adoptamos esta terminología, entonces queda claro en nuestras observaciones que la $K$ que da demuestra que su ejemplo es un local transformación canónica, pero que la transformación no es canónica.

Answer 2

I) Las restricciones $^1$ transformación (RT)

$$ (q,p)~\longrightarrow~ (Q,P) ~:=~(q, \sqrt{p} - \sqrt{q})\tag{1}$$

del profesor de OP con RT inversa

$$ (Q,P)~\longrightarrow~ (q,p) ~:=~(Q, (P+ \sqrt{Q})^2) ,\tag{2}$$

y con el hamiltoniano $H=\frac{p^2}{2}$ y kamiltoniano $K=\frac{p^{3/2}}{3}$ es realmente interesante. El ejemplo de OP (1) se menciona en la Ref. 3. Aparentemente debemos suponer que $p,q,Q\geq 0$ y $P+\sqrt{Q}\geq 0$ .

II) Como escribe esencialmente joshphysics en su respuesta, la RT (1) es no a simplectomorfismo porque el corchete de Poisson es no conservado si $p\neq \frac{1}{4}$ :

$$ \{Q,P\} ~=~\frac{\{q,p\}}{2\sqrt{p}}~\neq~\{q,p\}~=~1. \tag{3}$$

III) Como muestra lionelbrits en su respuesta, la RT (1) sí transforma las eqs de Hamilton en eqs de Kamilton, que según Wikipedia (diciembre de 2013) es la propiedad que define a una transformación canónica (TC). Goldstein, Landau y Lifshitz (Ref. 1 y 2) no están de acuerdo con tal definición de TC. Las ref. 1 y 2 afirman que la invariancia de forma es sólo una condición necesaria pero no suficiente para ser una transformación canónica (TC). La Ref. 3 llama a la transformación (1) una transformación canonoide. Ver también este post relacionado de Phys.SE.

IV) Tanto la Ref. 1 como la Ref. 2 definen una TC como la que satisface

$$ (p\dot{q}-H)-(P\dot{Q}-K)~=~\frac{dF}{dt},\tag{4}$$

o de forma equivalente

$$ (p\mathrm{d}q-H\mathrm{d}t)-(P\mathrm{d}Q -K\mathrm{d}t) ~=~\mathrm{d}F,\tag{5} $$

para alguna función $F$ . O, de forma equivalente (ignorando los posibles obstáculos topológicos),

$$ \mathrm{d}\left(p\mathrm{d}q-P\mathrm{d}Q +(K-H)\mathrm{d}t\right)~=~0. \tag{6}$$

Para el ejemplo de OP la condición (6) hace no mantener

$$ \tag{7} \mathrm{d}\left((p-\sqrt{p}+\sqrt{q})\mathrm{d}q +(\frac{p^{3/2}}{3}-\frac{p^2}{2})\mathrm{d}t\right) ~\neq~0. $$

Así que el ejemplo de OP es no a CT según las Refs. 1 y 2.

Referencias:

1. H. Goldstein, Mecánica clásica, Capítulo 9. Véase el texto de la ecuación (9.11).

2. L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Mecánica, $\S45$ . Véase el texto entre las ecuaciones (45.5-6).

3. J.V. Jose y E.J. Saletan, Dinámica clásica: Un enfoque contemporáneo, 1998; Subsección 5.3.1, p. 233.

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La palabra restringido significa que la transformación $(q,p)\longrightarrow (Q,P)$ no tiene una dependencia temporal explícita.

Answer 3

Las coordenadas originales satisfacen las ecuaciones de movimiento cuando la integral de $p\, \dot{q} - H(p,q)$ se minimiza, y las nuevas coordenadas satisfacen las ecuaciones de movimiento cuando la integral de $P\, \dot{Q} - K(P,Q)$ se minimiza. No se exige que $H$ y $K$ sean numéricamente iguales.

La transformación es canónica si la Soporte de Poisson permanece invariable.

Las MOE son

$\dot{p} = 0$

$\dot{q} = p$

y a partir del nuevo hamiltoniano, obtenemos

$\dot{P} = -(P+\sqrt{Q})^2 \frac{1}{2\sqrt{Q}} = - \frac{p}{2\sqrt{q}} = \frac{d}{dt} \left(\sqrt{p} - \sqrt{q} \right)$

$\dot{Q} = (P+\sqrt{Q})^2 = \dot{q}$

por lo que las ecuaciones de movimiento son numéricamente iguales.

Answer 4

Ver V.I.Arnold Métodos matemáticos de la mecánica clásica capítulo 44 E para las definiciones y pruebas. También hay que consultar las notas a pie de página hasta la p.241. En particular, Landau & Lifshitz confunde las dos definiciones de una transformación canónica y tiene varios errores al respecto.

Si definimos una transformación canónica como el difeomorfismo sobre una variedad simpléctica que preserva la estructura simpléctica, entonces la otra definición sigue, pero las dos son no equivalente.