Demostración de la indecidibilidad del problema de isomorfismo de grupo a partir de un problema de palabras irresoluble

Question

De The Princeton Companion to Mathematics, IV Branches of Mathematics, páginas 126-127:

Supongamos que $\Gamma = \langle A | R \rangle$ es un grupo finitamente presentado con un problema de palabras irresoluble, donde $A = \{ a_1,\ldots,a_n$ y no $a_i$ es igual a la identidad en $\Gamma$ . Para cada palabra $w$ hecho con las letras de $A$ y sus inversos, definen un grupo $\Gamma_w$ tener presentación $$\langle A,s,t|R,t^{-1}(s^i a_i s^{-i})t(s^i w s^{-i}),i =1,\ldots,n \rangle$$ No es difícil demostrar que si $w =1$ en $\Gamma$ entonces $\Gamma_w$ es el grupo libre generado por $s$ y $t$ . Si $w \neq 1$ entonces $\Gamma_w$ es una extensión de HNN. En particular, contiene una copia de $\Gamma$ y, por tanto, tiene un problema de palabras irresoluble, lo que significa que no puede ser un grupo libre. Por lo tanto, dado que no existe un algoritmo para decidir si $w = 1$ en $\Gamma$ no se puede decidir cuál de los grupos $\Gamma_w$ son isomorfas a cuales otras.

No puedo entender por qué si $w \neq 1$ entonces $\Gamma_w$ contiene una copia de $\Gamma$ . Me parece que $w^{-1}$ y $a_i$ s se conjugan en el porque de los relatores $t^{-1}(s^i a_i s^{-i})t(s^i w s^{-i})$ y creo que en $\Gamma_w$ el subgrupo generado por $a_i$ puede no ser isomorfo a $\Gamma$ . Además, no puedo ver cómo $\Gamma_w$ es una extensión HNN de algún grupo.

P.D.: Por favor, perdóneme por hacer una pregunta estúpida. No sé nada sobre teoría combinatoria de grupos. Sólo hice un curso de lógica y ahora estoy leyendo algunos resultados de problemas indecidibles.

Answer 1

Lo importante es que $\Gamma_w$ es una extensión de HNN, es decir, una extensión de $\Gamma$ (o más bien de $\Gamma$ ya extendida libremente por $s$ ) por un nuevo elemento $t$ y utilizando un isomorfismo $\alpha\colon H\to K$ entre dos subgrupos de $\Gamma$ dos subgrupos $H,K$ de $\Gamma$ de tal manera que la conjugación con $t$ aplicado a $H$ actúa como $\alpha$ En otras palabras, $\langle\, S\mid R\,\rangle$ se convierte en $\langle\,S,t\mid R,\forall h\in H\colon t^{-1}ht=\alpha(h)\,\rangle$ . Tenemos claramente un homomorfismo $\langle\, S\mid R\,\rangle\to \langle\,S,t\mid R,\forall h\in H\colon t^{-1}ht=\alpha(h)\,\rangle$ enviando $S$ a sí mismo. A priori, esto no tiene por qué ser un homomorfismo inyectivo, y no es obvio que deba serlo, pero el resultado clave de la teoría de HNN es que sí es inyectivo.

Los subgrupos $H,K$ que utilizamos aquí son dos subgrupos libres en $n$ generadores contenidos en $\langle \Gamma,s\rangle$ uno generado por $s^ia_is^{-i}$ , $1\le i\le n$ y gratis porque ninguno de los $a_i$ es $1$ y la otra generada por $s^iws^{-i}$ , $1\le i\le n$ y gratis porque $w\ne 1$ . El isomorfismo $\alpha$ es sólo que el envío de $s^ia_is^{-i}$ a $s^iw^{-1}s^{-i}$ (la inversa por la forma en que se escribe la relación). Como $H,K$ son libres, basta con añadir las relaciones HNN sólo para los generadores.

En total tenemos así dos inyecciones $$ \Gamma = \langle\,A\mid R\,\rangle\hookrightarrow\langle\,A,s\mid R\,\rangle\stackrel{\text{HNN}}\hookrightarrow\langle\,A,s,t\mid R,\forall i=1,\ldots, n\colon s^ia_is^{-i}=s^iw^{-1}s^{-i}\,\rangle=\Gamma_w$$ con $$ H=\langle\,sa_1s^{-1},\ldots, s^na_ns^{-n}\,\rangle \cong F_n\cong \langle\,sws^{-1},\ldots, s^nws^{-n}\,\rangle=K.$$