Series de Fourier, problema de Sturm-Liouville - ¿Cuál es la conexión que me falta?

Question

Series de Fourier

Así que en mi libro estamos hablando de las series de Fourier. $$f(x) = \frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^\infty\left[a_n\sin{\left(\frac{n\pi x}{L}\right)}+b_n\cos{\left(\frac{n\pi x}{L}\right)}\right]$$ Dice que el representa funciones periódicas "bastante agradables" de período $L$ .

Problema de Sturm Liouville

Un problema de Sturm-Liouville es aquel en el que $$(p(x)y')'+q(x)y+\lambda w(x)y=0 \qquad p(x),w(x)>0 \qquad \text{on} \qquad x_0 \leq x \leq x_1$$ con Condiciones de Límite que permiten la autoadhesión, es decir, Dirichlet, Neumann, Punto Singular, Periódico o Radiación.

Solución del problema de Sturm Liouville

Cuando se resuelve el problema de SL, normalmente se consideran tres valores diferentes para $\lambda$ ( $0,>0,<0$ ), encontrar los valores propios (que son todos positivos y reales), encontrar las funciones propias (que son todas reales) y, por tanto, si escojo cualquier valor propio y su respectiva función propia, eso es una solución al problema de SL (es decir, la ecuación diferencial con esos valores propios sustituidos a lambda tiene una solución, la función propia, que respeta las condiciones de contorno).

Conexión entre los dos

Mi libro dice entonces brevemente que " $\sin{\left(\frac{n\pi x}{L}\right)}$ y $\cos{\left(\frac{n\pi x}{L}\right)}$ son funciones propias del problema SL $y''+\lambda y=0$ en $[-L,L]$ con BC periódicas. Y que $$\left\{1, \sin{\left(\frac{n\pi x}{L}\right)}, \cos{\left(\frac{n\pi x}{L}\right)}\right\}$$ forman una base ortogonal para el espacio de $2L$ -funciones periódicas "agradables"".

Mi juicio

Así que lo intenté, usando $w(x)=1$ , $q(x)=0$ , $p(x)=1$ , en $[-L,L]$ con $y(-L)=y(L)$ y $y'(-L)=y'(L)$

1. $\lambda =0$ da $y=Ax+B$ y aplicando las condiciones se obtiene $A=0$ . Sin embargo no nos dice nada sobre B.
2. $\lambda=-\mu^2$ ( $\mu\neq 0$ ) da $y=Ae^{\mu x}+Be^{-\mu x}$ y aplicando las condiciones sólo se obtiene la solución trivial $y\equiv 0$
3. $\lambda=\mu^2$ ( $\mu\neq 0$ ) da $y =A\sin{(\mu x)}+B\cos{(\mu x)}$ y aplicando las condiciones se obtiene $\mu=\frac{n\pi}{L}$ sólo.

Sin embargo, no sé cómo seguir relacionando ambas cosas. Tengo otra solución del caso $\lambda =0$ ¿Cómo puedo unificar todo?

Pero en general mi pregunta es

¿Cuál es la relación entre las series de Fourier y los problemas de SL? ¿Cómo puedo demostrar que sin y cos son funciones propias de ese problema particular de Sturm-Liouville? Y finalmente, si es así, ¿cuáles son los problemas de sturm-liouville asociados a las series de fourier del seno y del coseno?

Answer 1

Dejemos que $L$ sea el operador $Lf=-f''$ definida en el dominio $\mathcal{D}(L)$ que consiste en dos funciones absolutamente continuas $f$ en $[-\pi,\pi]$ que satisfacen las condiciones periódicas $f(-\pi)=f(\pi)$ y $f'(-\pi)=f'(\pi)$ . Entonces $L$ es simétrica en su dominio porque, para $f,g\in \mathcal{D}(L)$ , uno tiene $$ (Lf,g)-(f,Lg) = \int_{-\pi}^{\pi}f(t)\overline{g''(t)}-f''(t)\overline{g(t)}dt \\ = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{d}{dt}\{f(t)\overline{g'(t)}-f'(t)\overline{g(t)}\}dt \\ = \left.\{f(t)\overline{g'(t)}-f'(t)\overline{g(t)}\}\right|_{t=-\pi}^{\pi}=0. $$ Por lo tanto, si $Lf=\lambda f$ y $f\ne 0$ se deduce que $\lambda$ es real porque $$ (\lambda-\overline{\lambda})(f,f)=(Lf,f)-(f,Lf) = 0. $$ Asimismo, si $f,g$ no son idénticos $0$ y $Lf=\lambda f$ , $Lg=\mu g$ con $\lambda\ne \mu$ entonces $(f,g)=0$ porque $$ (\lambda-\mu)(f,g) = (Lf,g)-(f,Lg) = 0. $$ Tenga en cuenta que $L1 = \lambda 1$ donde $\lambda=0$ . Esto tiene sentido porque la función constante $1$ está en el dominio de $L$ , ya que es dos veces absolutamente continua, y es periódica en la función y su primera derivada. Y, $$ L\sin(nx) = n^2 \sin(nx),\;\; L\cos(nx)=n^2\cos(nx). $$ Así que, $\lambda_n = n^2$ son valores propios de $n=0,1,2,\cdots$ . El eigespacio $\{ 1\}$ para $\lambda=0$ es unidimensional. El eigespacio $\{\sin(nx),\cos(nx)\}$ es bidimensional con valor propio $\lambda_n=n^2$ . Hay libertad para elegir los elementos de $E_n$ para $n \ne 0$ pero es conveniente elegir una base ortogonal, que es lo que hace la elección de $\sin(nx),\cos(nx)$ hace. En su lugar, podría elegir $\{ e^{inx},e^{-inx}\}$ que también es una base ortogonal. O se puede elegir $\{ e^{inx},\cos(nx) \}$ que no es una base ortogonal para el eigespacio bidimensional, aunque sea una base.

La base de Fourier estándar es $\{ 1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),\cdots\}$ que consiste en funciones reales ortogonales. Para ampliar $f \in L^2[-\pi,\pi]$ en dicha base, $$ f \sim a_0 1 + a_1 \cos(x)+ b_1 \sin(x) + a_2 \cos(2x)+ b_2\sin(2x) + \cdots, $$ se toma formalmente el producto punto de $f$ con uno de los elementos de la base, así como la serie de la derecha. Utilizando la ortogonalidad, $$ (f,1) = a_0(1,1), \;\;\; a_0 = \frac{(f,1)}{(1,1)} \\ (f,\cos(nx)) = a_n (\cos(nx),\cos(nx)),\;\;\; a_n = \frac{(f,\cos(nx))}{(\cos(nx),\cos(nx))} \\ (f,\sin(nx)) = b_n (\sin(nx),\sin(nx)),\;\;\; b_n = \frac{(f,\sin(nx))}{(\sin(nx),\sin(nx))}. $$ Utilizando $(1,1)=2\pi$ y $(\cos(nx),\cos(nx))=\pi$ , $(\sin(nx),\sin(nx))=\pi$ da la expansión en serie de Fourier: $$ f \sim \frac{1}{2\pi}(f,1) + \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\{(f,\cos(nx))\cos(nx)+(f,\sin(nx))\sin(nx)\} \\ \sim \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)dt + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)dt\sin(nx)+\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)dt\cos(nx). $$

Nota: La ortogonalidad integral no proviene de tales argumentos. La propiedad de "ortogonalidad" de las funciones trigonométricas fue un hecho descubierto experimentalmente al intentar escribir una condición inicial para un problema de cuerdas vibrantes en términos de ondas viajeras. Esto es anterior a los trabajos de Fourier, al álgebra lineal de dimensiones finitas, al análisis de funciones propias, etc., durante décadas.