¿Cómo intuir la definición de la función afín?

Question

Aquí está la definición de Funciones Afines según Stephan Boyd (EE263 Stanford) :

1- Creo que la linealidad es una propiedad más restrictiva de una función que ser afín ya que requiere $f(0) = 0.$ Me pregunto, ¿cómo es que al imponer una restricción, a saber $\alpha + \beta = 1$ ¿logramos una propiedad menos restrictiva?

2- ¿Cómo podemos intuir el concepto de afinidad a través de esta definición?

Gracias

Answer 1

Utilicemos otra definición de función afín.

Una función ${f}:\mathbb R^n \to \Bbb R^m$ se llama afín si y sólo si $$f(\mathbf{x}) = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{b}$$ para algunos $\mathbf{A} \in \Bbb R^{m \times n}$ y $\mathbf{b} \in \Bbb R^m$ .

Dejemos que $f:\Bbb R^n \to \Bbb R^m$ sea una función afín y $\alpha,\beta \in \Bbb R$ . Entonces \begin {align*} f( \alpha \cdot \mathbf {x} + \beta \cdot \mathbf {y}) &= \mathbf {A}( \alpha \mathbf {x} + \beta \mathbf {y}) + \mathbf {b} \\ &= \alpha \mathbf {A} \mathbf {x} + \beta\mathbf {A} \mathbf {y} + \mathbf {b} \\ & \\ \alpha\cdot f( \mathbf {x}) + \beta\cdot f( \mathbf {y}) &= \alpha ( \mathbf {A} \mathbf {x}+ \mathbf {b}) + \beta ( \mathbf {A} \mathbf {y} + \mathbf {b}) \\ &= \alpha\mathbf {A} \mathbf {x}+ \alpha\mathbf {b} + \beta\mathbf {A} \mathbf {y}+ \beta\mathbf {b} \\ &= \alpha\mathbf {A} \mathbf {x}+ \beta\mathbf {A} \mathbf {y}+( \alpha + \beta ) \mathbf {b} \end {align*}

Así que para las funciones afines a requerimos en general que $\alpha+\beta = 1$ para la relación $f(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}) = \alpha f(\mathbf{x}) + \beta f(\mathbf{y})$ para sostener. En otras palabras, estas definiciones son equivalentes siempre que $\alpha + \beta = 1$ .

Answer 2

Esta es una buena pregunta. Mi respuesta es más bien abstracta. En pocas palabras, afín son para los espacios afines la contraparte exacta de lineal para espacios vectoriales. Este punto de vista requiere la introducción del concepto de "espacio afín".

Referencia Notas de Gallier sobre la geometría afín que recomiendo encarecidamente sobre este tema.

En lo que sigue, dejemos que $\mathbb{K}$ denotan un campo escalar (normalmente $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ).

Definición A espacio afín es un triple $(A, V,+)$ donde $A$ es un conjunto, $V$ es un $\mathbb{K}$ -y el espacio vectorial $+\colon A\times V\to A$ satisface los siguientes axiomas (análogos a los axiomas de Acción de grupo )

1. Para cualquier $p\in A$ , uno tiene $p+\vec 0 =p$ .
2. Para cualquier $p, q\in A$ existe un único vector $\vec v\in V$ tal que $p+\vec v=q$ . Este vector se denomina $\vec v=q-p$ .
3. Para cualquier $\vec v, \vec w\in V$ y para cualquier $p\in A$ , uno tiene $(p+\vec v)+\vec w=p+(\vec v+\vec w).$ Esto es lo mismo que exigir que, para tres puntos cualesquiera $p_1, p_2, q\in A$ , uno tiene $p_1-p_2=(p_1-q)+(q-p_2).$

Los elementos de $A$ se llaman puntos Los de $V$ se llaman vectores . Cualquier espacio vectorial es un espacio afín, y a la inversa, fijando un punto arbitrario $o\in A$ e identificarlo con el vector nulo $\vec 0$ se puede dotar $A$ con la misma estructura de espacio vectorial de $V$ . Por eso los dos conceptos se confunden a menudo.

En un espacio vectorial, se tiene la ley de composición interna de combinación lineal . En un espacio afín, las combinaciones lineales no tienen sentido a priori. Pero se puede definir una noción de suma ponderada (o combinación baricéntrica o también combinación afín ) de la siguiente manera.

Dejemos que $p_0\ldots p_n\in A$ sean puntos y que $w_0\ldots w_n\in \mathbb{K}$ ( masas o cargos ) sea tal que $w_0+\ldots +w_n=1$ . Entonces existe un único punto $q$ tal que, para cualquier elección de $o\in A$ , $$\tag{1} \sum_{j=0}^n w_j(p_j-o) = q-o.$$ Así, se define $q=\sum_{j=0}^n w_jp_j$ .

Prueba . Hay que comprobar que (1) es covariante respecto al cambio de origen, es decir, que si se considera otro origen $o'$ la ecuación (1) conserva la misma forma. Esto es una consecuencia de la propiedad 3. y utiliza de forma esencial el hecho de que los pesos suman $1$ . Se tiene para el lado izquierdo de (1) $$ \sum_{j=0}^n w_j (p_j-o)=\sum_{j=0}^n w_j(p_j-o')+\sum_{j=0}^n w_j(o-o')=\sum_{j=0}^n w_j(p_j-o')+(o-o'),$$ y el lado derecho $$ q-o=q-o'+(o'-o), $$ por lo que un cambio de origen produce el mismo cambio en ambos lados de la ecuación (1). Por tanto, $$\sum_{j=0}^n w_j(p_j-o')=q-o', $$ como se ha reclamado. $\square$

Se puede llevar la analogía entre los espacios vectoriales y el espacio afín un paso más allá. En los espacios vectoriales, los mapas naturales a considerar son mapas lineales que conmutan con las combinaciones lineales. De forma similar, en los espacios afines los mapas naturales a considerar son mapas afines que conmutan con sumas ponderadas de puntos. Este es exactamente el tipo de mapas introducidos por la definición del libro de texto de la OP.

Answer 3

En lugar de dos variables $\alpha$ , $\beta$ que satisface la restricción $\alpha+\beta=1$ puede utilizar una variable real $\tau$ (sustituyendo el antiguo $\beta$ ), y exigir que para todos los $x$ , $y\in{\mathbb R}^n$ y todos $\tau\in{\mathbb R}$ uno tiene $$f\bigl((1-\tau)x+\tau\>y\bigr)=(1-\tau) f(x)+\tau f(y)\ .$$ Esto expresa la condición de que la línea $$\ell:\qquad \tau\mapsto(1-\tau) x+\tau \>y$$ conectando $x$ con $y$ se mapea en la línea $$\ell':\quad \tau\mapsto (1-\tau)f(x)+\tau\>f(y)$$ conectando $f(x)$ con $f(y)$ de forma "lineal", es decir, de forma que se conserven las relaciones (con signo) entre las distancias.