Número de clases de conjugación en un grupo simple finito no abeliano

Question

¿Podemos decir que todo grupo simple finito no abeliano tiene al menos 4 clases de conjugación no identitarias?

Answer 1

He aquí una forma de enfocar esta cuestión.

Encontremos todos los grupos finitos con exactamente 3 clases de conjugación. Que tal grupo tenga clases de tamaños $1$ , $a$ y $b$ con $1\le a\le b$ . El tamaño de una clase de conjugación debe dividir el orden del grupo (ya que es igual al índice de un centralizador), de lo que se deduce que $a$ divide $b+1$ y $b$ divide $a+1$ . Piénsalo un rato y verás que las únicas posibilidades de $(a,b,c)$ son $(1,1,1)$ , $(1,1,2)$ y $(1,2,3)$ . La primera describe el grupo de 3 elementos, la segunda no puede darse (ya que todo grupo de orden 4 es abeliano), y la tercera describe el grupo simétrico sobre 3 letras. Por lo tanto, aquí no hay grupos simples no abelianos.

Ahora, el mismo enfoque debería reducir el problema de la clase de conjugación exactamente 4 a un número finito de posibilidades, que luego se puede comparar con la lista de grupos simples no abelianos conocidos, y ver si hay alguno.