Tengo problemas para obtener el vector tangente

Question

Revisé la definición de vector tangente de la Wikipedia.

Tengo problemas para entender cómo un gráfico de coordenadas único $(U,\phi)$ puede servir al propósito. Para $\phi\gamma$ está definida si la imagen( $\gamma$ ) $\subset U.$ De lo contrario, $\phi\gamma$ ni siquiera está definida. ¿Cómo sería entonces posible diferenciarlo en $0?$

Answer 1

Un gráfico se denomina a veces parche de coordenadas y es una buena manera de pensar en ello: como un parche que se podría utilizar para reparar una cámara de aire rota. El espacio tangente en un punto del colector es un local definición. Se puede pensar que esto significa que sólo se requiere una región arbitrariamente pequeña del colector alrededor del punto para definirlo.

Una de las formas de definir los vectores tangentes (hay varias) consiste en mirar las curvas $\gamma:\Bbb{R} \to M$ tal que $\gamma(0) = x_0$ . No es una condición estricta. Tomemos cualquier curva que pase por el punto $x_0 \in M$ y posiblemente desplazando su parámetro, puedes suponer que en el "tiempo" cero, pasa por el punto. Puedes pensar en el vector tangente como su velocidad en ese momento.

Dado que el parche de coordenadas es una función $\phi: U \to \Bbb{R}^n$ , donde $U$ es una vecindad abierta que contiene $x_0$ , algún trozo (posiblemente pequeño) de la curva $\gamma$ aterriza en el interior de $U$ . Después de restringir posiblemente su dominio (eligiendo un $\epsilon > 0$ ), se puede suponer que $$ \gamma: (-\epsilon, \epsilon) \to U \qquad \text{with} \qquad \gamma(0) = x_0. $$

Ahora, las composiciones $\phi\gamma: \Bbb{R} \to \Bbb{R}^n$ llevar el estudio a los números reales. Esto es algo más que una nota. Las variedades reales obtienen toda su estructura local de los reales.

Hagamos un balance de las elecciones que se han hecho hasta ahora:

• el barrio $U$ de punto $x_0$ (el parche),
• la curva $\gamma$ que pasa por $x_0$ .

Hay demasiadas posibilidades, así que definimos una relación de equivalencia, que nos permite "desenfocar" y considerar que dos curvas cualesquiera son equivalentes si tienen la misma derivada en cero. Estas equivalencias clases son los vectores tangentes. No es obvio a priori que estos forman un espacio vectorial, ¡pero lo hacen! Hay una forma significativa de definir la adición de estas clases y el escalado por un coeficiente real. Esto da un espacio vectorial perfectamente razonable para el parche dado $U$ pero hay que demostrar que esta elección no depende del parche.

Más concretamente, si $(U_1, \phi_1)$ y $(U_2, \phi_2)$ son dos parches sobre $x_0$ (por lo que existe algún difeomorfismo $\psi: \phi_1(U_1 \cap U_2) \to \phi_2(U_1 \cap U_2)$ en el espacio euclidiano tal que $\psi\phi_1 = \phi_2$ en el parche más pequeño $U_1 \cap U_2$ ), entonces necesitamos construir un isomorfismo desde el espacio tangente definido por un parche al espacio tangente definido por el otro. Se puede escribir este mapa, con la ecuación que relaciona los dos parches, utilizando la regla de la cadena.