¿Hay una prueba geométrica que el determinante de una matriz de 3 x 3 es invariante bajo cambio de filas y columnas?

Question

Un hecho básico acerca de $3$ dimensiones de los vectores es que la cantidad

$\pm\det\left( \begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ \end{array} \right)$

es igual al volumen del paralelepípedo determinado por los vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{c}$ donde $\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$, $\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3\rangle$, y $\vec{c} = \langle c_1, c_2, c_3\rangle$. Desde, por ejemplo, la fórmula explícita para el determinante de una matriz en términos de sus entradas es evidente que este es el mismo como

$\pm\det\left( \begin{array}{ccc} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \\ \end{array} \right)$

de modo que el volumen del paralelepípedo determinado por $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{c}$ es el mismo que el volumen del paralelepípedo determinado por $\langle a_1, b_1, c_1\rangle$, $\langle a_2, b_2, c_2\rangle$, y $\langle a_3, b_3, c_3\rangle$.

Mi pregunta es:

Hay un geométrica prueba de que los volúmenes de los dos parallelepipeds son el mismo?

Answer 1

Si usted está dispuesto a postular que el determinante es lineal, aquí hay algo para el $2 \times 2$ caso: considere el $\left(\begin{smallmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)$. Rowwise, que nos da un paralelogramo con vértices $(a,b)$, $(1,0)$, y $(a+1,b)$. (Y el origen, por supuesto, pero no voy a molestarme en escribir eso). Eso es bastante claramente un paralelogramo de base 1 y altura $b$.

Después de transponer, $\left(\begin{smallmatrix} a & 1 \\ b & 0 \end{smallmatrix}\right)$ da un paralelogramo con vértices $(a,1)$, $(b,0)$, y $(a+b,1)$; ahora, la altura es de 1 y la base es de $b$.

Geométricamente, puede deslizar la parte superior de una de esas hasta obtener un rectángulo, reflexionar acerca de $y=x$, y deslice la parte superior de nuevo (todo el área de la preservación de las transformaciones) para convertir uno en el otro.

La escala de la $(1,0)$ fila/columna, evidentemente, las escalas de la resultante de los paralelogramos. El $\left(\begin{smallmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)$ de los casos funciona de la misma. Así que si la linealidad de la determinante está bien, tienes la $2 \times 2$ de los casos.

Para $3 \times 3$, mi conjetura es que basta con hacer $\left(\begin{smallmatrix} a & b & c \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)$.

Pero esto es todavía un poco insatisfactorio. Supongo que el OP quiere realmente una concreta operación que se convierte en una forma de paralelepípedo en el otro para que la igualdad de volúmenes se fuerza obvio.