Grupos de Coxeter finito/infinito

Question

En el mismo concurso como este tenemos el siguiente problema:

Tenemos un idioma con sólo tres cartas cartas de $A,B,C$. Dos palabras son equivalentes si pueden transformarse de una a otra utilizando las transformaciones de los consecutivos de las letras en una palabra como esta: $ABA \leftrightarrow BAB$, $ACA \leftrightarrow CAC$ y $AA=BB=CC=\emptyset$

Decidir si hay finito o infinito número de no equivalente palabras en este idioma si la siguiente condición:

1) $BC=CB$;

2) $BCB=CBC$.

Si hay un número finito de palabras, cuántos no equivalentes palabras hay?

El problema puede ser rápidamente traducido al grupo de teoría (que no me vea...) como este:

Un grupo tiene tres generadores $a,b,c$ con las siguientes relaciones entre ellos. Decidir en cada caso si el grupo es finito/infinito. Si finita, encontrar el número de elementos del grupo.

1) $a^2=b^2=c^2=e, \ (ab)^3=e, \ (ac)^3=3,\ (bc)^2=e$;

2) $a^2=b^2=c^2=e, \ (ab)^3=e, \ (ac)^3=3,\ (bc)^3=e$.

Estos son fáciles de ver para ser casos particulares de los grupos de Coxeter. El oficial de pruebas se basan en la búsqueda geométrica actual de los modelos de los grupos de Coxeter (esto siempre es posible, aunque no es muy simple...). Por supuesto, nadie de los participantes piensa en ello de esta manera, y en caso de $1)$ es posible demostrar que hay un número finito de palabras en la demostración de que una gran palabra, la cual es equivalente a una palabra de la forma $ABCABC..., BABCABC...,BCABCABC...$ puede hacerse más corto, pero incluso si se demuestra que hay un número finito de palabras, no es todavía la parte cuando tenemos que cuentan los diferentes palabras, lo cual puede ser muy complicado. Para el segundo problema sin solución sin Coxeter grupos de representación geométrica se presentó.

Mis preguntas son:

1) los resultados de los que podemos ver directamente a partir de las relaciones dadas por el grupo de Coxeter si el grupo es finito o no? Estoy especialmente interesado en los 3 generadores caso, pero tal vez hay algunos resultados en el caso general, también.

2) Podemos encontrar el número de palabras no equivalentes en la primera parte, sin el uso de grupos de Coxeter?

3) se Puede resolver de la segunda parte, sin el uso de grupos de Coxeter?

Answer 1

Para ampliar Jack Schmidt comentario, un confluente reescritura del sistema para el primer ejemplo tiene las ocho normas de reducción:

$a^2 \to 1$, $b^2 \to 1$, $c^2 \to 1$, $bab \to aba$, $cac \to aca$, $cb \to bc$, $caba \to bcab$, $cabc \to acab$,

forma que se puede ver que no son exactamente 24 irreductible de las palabras (es decir, aquellos que no contiene el lado izquierdo de una reducción de la regla):

$1$, $a$, $b$, $c$, $ab$, $ac$, $ba$, $bc$, $ca$, $aba$, $abc$, $aca$, $bac$, $bca$, $cab$, $abac$, $abca$, $acab$, $baca$, $bcab$, $abaca$, $abcab$, $bacab$, $abacab,$

a pesar de que hace la vida más fácil para comprobar que los cálculos por ordenador.

El segundo ejemplo también tiene un confluente de reescritura de sistema, esta vez con los nueve reglas:

$a^2 \to 1$, $b^2 \to 1$, $c^2 \to 1$, $bab \to aba$, $cac \to aca$, $cbc \to bcb$, $cabcb \to acabc$, $cbaca \to bcbac$, $cabcaba \to acabcab.$

Tenga en cuenta que las palabras $(abc)^n$ son irreductibles para todos los $n$, por lo que el grupo es infinito.

Answer 2

El primer grupo es una presentación de la $S_4$ con $b= (12)$, $c=(34)$, y $a=(23)$.

El segundo grupo es el de las simetrías de un mosaico del avión por triángulos equiláteros, con $a$, $b$ y $c$ reflexiones en los lados de un triángulo equilátero. El grupo con los de las relaciones de mapas en el grupo de simetría de las baldosas (isomorphically, pero usted no necesita probar que ver que el resumen de grupo es al menos tan grande como el grupo de simetría de las baldosas). La palabra $(abc)^2$ se asigna a una traducción y genera una infinita subgrupo de los movimientos de la colocación de las baldosas.