Cómo puedo demostrar esta forma cerrada para $\sum_{n=1}^\infty\frac{(4n)!} {\Gamma\left (\frac23+n\right) \,\Gamma\left (\frac43+n\right) \,n! ^,(-256) 2\ ^ n} $

Question

Cómo puedo probar el siguiente conjetura de identidad? $$\mathcal{S}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(4\,n)!}{\Gamma\left(\frac23+n\right)\,\Gamma\left(\frac43+n\right)\,n!^2\,(-256)^n}\stackrel?=\frac{\sqrt3}{2\,\pi}\left(2\sqrt{\frac8{\sqrt\alpha}-\alpha}-2\sqrt\alpha-3\right),$$ donde $$\alpha=2\sqrt[3]{1+\sqrt2}-\frac2{\sqrt[3]{1+\sqrt2}}.$$ La conjetura es equivalente a decir que $\pi\,\mathcal{S}$ es la raíz del polinomio $$256 x^8-6912 x^6-814752 x^4-13364784 x^2+531441,$$ perteneciente al intervalo de $-1<x<0$.

---

El sumando vino como una solución a la relación de recurrencia $$\begin{casos}un(1)=-\frac{81\sqrt3}{512\,\pi}\\\\ un(n+1)=-\frac{9\,(2n+1)(4n+1)(4 n+3)}{32\,(n+1)(3n+2)(3n+4)} (n)\end{casos}.$$ La conjetura forma cerrada se encontró el uso de la computadora basada en los resultados numéricos de suma. El resultado numérico aproximado es de $\mathcal{S}=-0.06339748327393640606333225108136874...$ (haga clic para ver 1000 dígitos).

Answer 1

De acuerdo con Mathematica, la suma es $$ \frac{3}{\Gamma(\frac13)\Gamma(\frac23)}\left( -1 + {}_3F_2\left(\frac14,\frac12,\frac34; \frac23,\frac43; -1\right) \right). $$

Este formulario es en realidad bastante sencillo si se escribe $(4n)!$ como $$ 4^{4n}n!(1/4)_n (1/2)_n (3/4)_n $$ el uso de potencias emergentes ("Pochhammer símbolos") y, a continuación, utilizar la definición de una función hipergeométrica.

La función hipergeométrica no puede ser manejado con la ecuación 25 aquí: http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html: $$ {}_3F_2\left(\frac14,\frac12,\frac34; \frac23,\frac43; y\right)=\frac{1}{1-x^k},$$ donde $k=3$, $0\leq x\leq (1+k)^{-1/k}$ y $ $ $ y = \left(\frac{x(1-x^k)}{f_k}\right)^k, \qquad f_k = \frac{k}{(1+k)^{(1+1/k)}}. $$

Ahora la configuración de $y=-1$, obtenemos la ecuación polinómica en $x$ $$ \frac{256}{27} x^3 \left(1-x^3\right)^3 = -1,$$ que tiene dos raíces reales, ninguno de ellos en el intervalo $[0,(1+k)^{-1/k}=4^{-1/3}]$, ya que uno es de $-0.43\ldots$ y los otros $es de 1.124\ldots$. Sin embargo, una de esas raíces, $x_1=-0.436250\ldots$ sólo pasa a dar el (numéricamente al menos) respuesta correcta, de modo que no importa que.

También, tenga en cuenta que $$ \Gamma(1/3)\Gamma(2/3) = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}. $$

El polinomio de la ecuación anterior es en términos de $x^3$, por lo que podemos simplificar que también un poco, así que la respuesta es que la suma es igual a $$ \frac{3^{3/2}}{2\pi} \left(-1+(1-z_1)^{-1}\right), $$ donde $z_1$ es una raíz de la ecuación polinómica $$ 256z(1-z)^3+27=0, \qquad z_1=-0.0830249175076244\ldots $$ (La otra raíz real es de $\aprox 1.42$.)

¿Cómo encontrar la conjetura forma cerrada?