Supongamos que tomamos algún primo $p$ y forman una secuencia:
$$a_1=p,$$
$$a_2=2p+1,$$
$$a_3=2(2p+1)+1=4p+3,$$
$$\ldots$$
$$a_n=2^{n-1}p+2^{n-1}-1.$$
No hay ninguna prima $p$ para la cual esta secuencia está formada sólo por primos, ¿verdad?
¿Cuál es la "racha" más larga de primos que puedes encontrar?
Como señala @lulu, cuando $p \ge 3$ , $\gcd(2,p) = 1$ así que por el Pequeño Teorema de Fermat, $$a_p=2^{p-1}p+2^{p-1}-1$$ es un múltiplo del número primo $p$ .
Para abordar el caso $p = 2$ , planteado por @ArnaudMortier, mediante inspección, $$a_6=2^{6-1}(2)+2^{6-1}-1 = 64 + 32 - 1 = 95 = 5 \times 19,$$ así que $(a_n)_n$ debe contener números compuestos.
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